Изменения

Пусть <tex> G^- </tex> уже построен. Пусть <tex> (k, m) \in E^- </tex>. Тогда <tex> k \neq m </tex> (так как иначе удаление ребра <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> приведёт к образованию меньшего графа с тем же транзитивным замыканием, что нарушает условие минимальности транзитивного остова). Поэтому по определению транзитивного остова <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\longrightarrow}} m </tex>. Пусть <tex> l </tex> — вершина, для которой выполняется <tex> k \underset{G}{\overset{*}{\longrightarrow}} l \underset{G}{\longrightarrow} m </tex>. Докажем, что <tex> k = l </tex>, от противного. Пусть <tex> k \neq l </tex>. <tex> G </tex> ацикличен, поэтому <tex> l \neq m </tex>. Поскольку <tex> G^* = (G^-)^* </tex>, верно <tex> k \underset{G^-}{\overset{+}{\longrightarrow}} l \underset{G^-}{\overset{+}{\longrightarrow}} m </tex>. Поскольку <tex> G^- </tex> ацикличен, путь из <tex> k </tex> в <tex> l </tex> не может содержать ребра <tex> (k, m) </tex>. Аналогично путь из <tex> l </tex> в <tex> m </tex> не может содержать <tex> (k, m) </tex>. Поэтому в <tex> G^- </tex> существует путь из <tex> k </tex> в <tex> m </tex>, не содержащий в себе ребро <tex> (k, m) </tex>. Поэтому удаление <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> не изменит транзитивное замыкание, что противоречит условию минимальности <tex> E^- </tex>. Поэтому <tex> \forall l: [ k \underset{G}{\overset{*}{\longrightarrow}} l \wedge (l, m) \in E \Longrightarrow k = l ] </tex>. Поскольку <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\longrightarrow}} m </tex>, существует такая вершина <tex> l </tex>, что <tex> k \underset{G}{\overset{*}{\longrightarrow}} l \underset{G}{\longrightarrow} m </tex>, что приводит к выводу, что <tex> (k, m) \in E </tex>.

Предположим, что <tex> (k, m) \in E </tex> и <tex> \forall l: [ k \underset{G}{\overset{*}{\longrightarrow}} l \wedge (l, m) \in E \Longrightarrow k = l ] </tex>, но <tex> (k, m) \notin E^- </tex>. Докажем противоречие. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, <tex> k \neq m </tex> и поэтому <tex> k \underset{G^-}{\overset{+}{\longrightarrow}} m </tex>. Поскольку <tex> (k, m) \notin E^- </tex>, существует вершина <tex> l </tex> такая, что <tex> k \underset{G^-}{\overset{*}{\longrightarrow}} l \underset{G^-}{\overset{*}{\longrightarrow}} m </tex> и <tex> k \neq l \neq m </tex>. Поэтому <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\longrightarrow}} l \underset{G}{\overset{+}{\longrightarrow}} m </tex>. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, существует вершина <tex> l' \neq k </tex>, для которой выполняется <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\longrightarrow}} l' \underset{G}{\longrightarrow} m </tex>, что противоречит нашему предположению.