Участник:Yulya3102/Матан

Основные вопросы

Список

• Замечание о представимости функции рядом Тейлора
• Дифференцирование разложений Тейлора
• Иррациональность числа e
• Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
• Теорема о свойствах неопределенного интеграла
• Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
• Предел римановых сумм
• Монотонность интеграла
• Интегрируемость модуля интегрируемой функции
• Интегрируемость произведения
• Интегрируемость частного
• Ослабленный критерий Лебега. Следствие
• Теорема о среднем. Следствия
• Теорема Барроу
• Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
• Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
• Иррациональность числа пи
• Формула Валлиса
• Формула Тейлора с интегральным остатком
• Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
• Неравенства Гельдера и Минковского
• Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
• Теорема о формуле трапеций
• Формула Эйлера - Маклорена
• Формула Стирлинга
• Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
• Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что [math] {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math]. По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда [math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math], [math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math]. По доказанному [math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math]. Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим [math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math]. Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math]. 2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда [math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math]. По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Иррациональность числа е

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности

Критерий монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f возрастает (убывает) на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] в том и только в том случае, когда [math]f'(x) \ge 0 \ (f'(x) \le 0) \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда [math]f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle[/math] , поэтому [math]f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0[/math]. 2. Достаточность. Пусть [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle[/math] . Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2[/math], и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]: [math]f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \ge 0[/math]. Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: критерий постоянства функции

Теорема:

Пусть [math]f: \langle a, b\rangle \to \mathbb{R}[/math]. Тогда f постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math], то по критерию монотонности функции функция [math]f[/math] одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Критерий строгой монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\langle a, b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f строго возрастает на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только в том случае, когда: 1) [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in (a, b)[/math]; 2) [math]f'[/math] не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции. Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание [math]f[/math]. Если возрастание нестрогое, то [math]\exists x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, f(x_1) = f(x_2)[/math]. Тогда [math]f[/math] постоянна на [math][x_1, x_2][/math], что противоречит условию 2).

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума

Теорема (Необходимое условие экстремума):

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math] - точка экстремума [math]f,\ f[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]f'(x_0)=0.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению точки экстремума [math]\exists\delta\gt 0:\ f(x_0)=\underset{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}{\max}f(x)[/math] или [math]f(x_0)=\underset{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}{\min}f(x).[/math] Остается применить теорему Ферма к функции [math]f|_{(x_0-\delta,x_0+\delta)}.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о трех хордах

Лемма:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math], [math]x_1, x_2, x_3 \in \langle a, b\rangle, x_1 \lt x_2 \lt x_3[/math]. Тогда [math]{f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_1) \over x_3 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_2) \over x_3 - x_2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению выпуклости [math]f(x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_3)[/math], где [math]t={x_3 - x_2 \over x_3 - x_1}, \ 1-t = {x_2 - x_1 \over x_3 - x_1}[/math]. Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны, [math]f(x_2) \le f(x_1)+(1-t)(f(x_3)-f(x_1))=f(x_1)+(x_2-x_1){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x_1}[/math], что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны, [math]f(x_2)\le f(x_3)-t(f(x_3)-f(x_1))=f(x_3)-(x_3-x_2){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x)1}[/math], что равносильно правому неравенству в лемме.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Теорема:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b \rangle[/math]. Тогда для любой точки [math]x \in (a, b) \ \exists[/math] конечные [math]f'_-(x), f'_+(x): f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим [math]g(\xi) = {f(\xi) - f(x) \over \xi - x}, \ \xi \in \langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. По лемме о трех хордах g возрастает на [math]\langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. Поэтому, если [math]a \lt \xi \lt x \lt \eta \lt b[/math], то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть [math]{f(\xi) - f(x) \over \xi - x} \le {f(\eta) - f(x) \over (\eta - x}[/math]. Следовательно, g ограничена на [math]\langle a, x)[/math] сверху, а на [math](x, b\rangle[/math] - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы [math]g(x-)[/math] и [math]g(x+)[/math], которые по определению являются односторонними производными [math]f'_-(x)[/math] и [math]f'_+(x)[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x[/math] слева, а [math]\eta[/math] - справа, получаем, что [math]f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Описание выпуклости с помощью касательных

Теорема:

Пусть функция f дифференцируема на [math]\langle a, b\rangle[/math]. Тогда f выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть [math]\forall x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] [math]f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, [math]x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math]. Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math] [math]{f(\eta) - f(x_0) \over \eta - x_0} \le {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство [math]f'(x_0) \le {f(x) - f(x_0) \over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math] [math]{f(\xi)-f(x_0)\over\xi-x_0}\ge{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство [math]f'(x_0) \ge {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. 2. Достаточность. Пусть [math]\forall x,x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] верно неравенство в теореме. Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, \ x \in (x_1, x_2)[/math]. Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем [math]f(x_1) \ge f(x) + f'(x)(x_1 - x)[/math], [math]f(x_2) \ge f(x) + f'(x)(x_2 - x)[/math], что равносильно [math]{f(x) - f(x_1)\over x-x_1}\le f'(x)\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math]. Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.

[math]\triangleleft[/math]

Дифференциальный критерий выпуклости

Теорема:

1. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на [math]\langle a,b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a,b)[/math]. Тогда [math]f[/math] (строго) выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math] в том и только том случае когда [math]f'[/math] (строго) возрастает на [math](a,b)[/math]. 2. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на [math]\langle a,b\rangle[/math] и дважды дифференцируема на [math](a,b)[/math]. Тогда [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f''(x)\ge0\ \forall x\in(a,b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Возьмем [math]x_1,x_2\in(a,b):\ x_1\lt x_2[/math]. По теореме об односторонней дифференцируемости выпуклой функции [math]f'(x_1)\le{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}\le f'(x_2)[/math], что и означает возрастание [math]f'[/math]. Достаточность. Возьмем [math]x_1,x_2\in\langle a,b\rangle:\ x_1\lt x_2[/math], и [math]x\in(x_1,x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c_1\in(x_1,x),\ c_2\in(x,x_2):\ {f(x)-f(x_1)\over x-x_1}=f'(c_1),\ {f(x_2)-f(x)\over x_2-x}=f'(c_2).[/math] Тогда [math]x_1\lt c_1\lt x\lt c_2\lt x_2[/math], а [math]f'[/math] по условию возрастает, поэтому [math]f'(c_1)\le f'(c_2)[/math], то есть [math]{f(x)-f(x_1)\over x-x_1}\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math], что равносильно неравенству из определения выпуклости. Если [math]f[/math] строго выпукла вниз, то оба неравенства в доказательстве необходимости строгие. Обратно, если [math]f'[/math] строго возрастает, то неравенство в доказательстве достаточности строгое, что влечет выпуклость [math]f[/math]. 2. По пункту 1 выпуклость [math]f[/math] равносильна возрастанию [math]f'[/math], которое по критерию монотонности равносильно неотрицательности [math]f''[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Йенсена

Теорема:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle,\ n\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\forall x_1,...,x_n\in\langle a,b\rangle[/math] и [math]p_1,...,p_n\gt 0[/math] [math]f\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}.[/math] Замечание 1. Числа [math]p_k[/math] называются весами, а отношение [math]{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}[/math] - взвешенным средним (арифметическим) чисел [math]x_1,...,x_n[/math]. Если все [math]p_k=1[/math], то взвешенное среднее есть обычное среднее арифметическое [math]{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k[/math]. Неравенство Йенсена можно сформулировать так: значение выпуклой вниз функции от взвешенного среднего не превосходит взвешенного среднего значений функции. Замечание 2. Не уменьшая общности, можно считать, что [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1[/math]. При этом условии неравенство Йенсена принимает вид [math]f\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\right)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)[/math]. Действительно, для произвольных положительных [math]p_k[/math] положим [math]q_k={p_k\over\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}p_j}[/math]. Тогда неравенство Йенсена для весов [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] выглядит одинаково, а [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}q_k=1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1[/math]. Положим [math]x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k[/math]. Сразу отметим, что если [math]x_1=...=x_n[/math], то [math]x^*[/math] с ними совпадает, а неравенство Йенсена обращается в равенство. Пусть среди чисел [math]x_1,...,x_n[/math] есть различные. Проверим, что [math]x^*\in(a,b)[/math]. Действительно, хоть одно из чисел [math]x_k[/math] меньше [math]b[/math], поэтому [math]x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\lt \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kb=b[/math]. Аналогично доказывается, что [math]x^*\gt a[/math]. В точке [math]x^*[/math] у функции [math]f[/math] существует опорная прямая; пусть она задается уравнением [math]\ell(x)=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]\ell(x^*)=f(x^*)[/math] и [math]\ell(x_k)\le f(x_k)\ \forall k[/math]. Поэтому [math]f(x^*)=\ell(x^*)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k(\alpha x_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k\ell(x_k)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k).[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Гельдера

Теорема:

Пусть [math]a,b\in\mathbb{R}^n[/math] или [math]\mathbb{C}^n,\ p\gt 1,\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1[/math]. Тогда [math]\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^q\right)^{1/q}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как [math]\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_kb_k\vert[/math], достаточно доказать неравенство Гельдера для чисел [math]\vert a_k\vert,\ \vert b_k\vert[/math]. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что [math]a_k,b_k\in\mathbb{R}_+[/math]. Более того, можно считать, что все [math]b_k\gt 0[/math]. Действительно, если неравенство Гельдера доказано для положительных чисел [math]b_k[/math], то [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k=\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_kb_k\le\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}b_k^q\right)^{1/q}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{1/q}.[/math] Итак, пусть [math]a_k\ge0,\ b_k\gt 0\ \forall k[/math]. Функция [math]f(x)=x^p[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Положим [math]p_k=b_k^q,\ x_k=a_kb_k^{1-q}[/math] и применим неравенство Йенсена: [math]\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}[/math]. Учитывая, что [math]p_kx_k=a_kb_k,\ p_kx_k^p=b_k^qa_k^pb_k^{p(1-q)}=a_k^p,[/math] получаем: [math]\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q},[/math] [math]\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_kb_k\right)^p\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{p-1}.[/math] Остается возвести обе части неравенства в степень [math]\frac{1}{p}[/math] и воспользоваться тем, что [math]1-\frac{1}{p}=\frac{1}{q}.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Минковского

Теорема:

Пусть [math]a,b\in\mathbb{R}^n[/math] или [math]\mathbb{C}^n,\ p\ge1[/math]. Тогда [math]\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p\right)^{1/p}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

При [math]p=1[/math] неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть [math]p\gt 1,\ q={p\over p-1}[/math]. Обозначим [math]C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p[/math]. Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера: [math]C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.[/math] Если [math]C=0[/math], то неравенство Минковского очевидно, а если [math]C\gt 0[/math], то, сокращая на [math]C^{1/q}[/math], получаем требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Коши

Теорема (Монотонность средних степенных):

Пусть [math]n\in\mathbb{N},\ r,s\in\mathbb{R},\ r\lt s,\ a_1,...,a_n\ge0[/math] при [math]r\ge0,\ a_1,...,a_n\gt 0[/math] при [math]r\lt 0[/math]. Тогда [math]M_r(a)\le M_s(a)[/math], причем равенство имеет место лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. В частности, [math]\sqrt[n]{a_1\dot...\dot a_n}\le{a_1+...+a_n\over n}[/math]. Это неравенство называется неравенством Коши между средним геометрическим и средним арифметическим.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]0\lt r\lt s[/math]. Поскольку [math]{s\over r}\gt 1[/math], функция [math]f(x)=x^{s/r}[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Применим к ней неравенство Йенсена, взяв [math]p_k=1,\ x_k=a^r_k[/math]. Получим [math]\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k^r\right)^{s/r}\le{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^s[/math], причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. Остается возвести обе части в степень [math]1\over s[/math]. 2. Пусть [math]r=0,s=1[/math], то есть докажем неравенство Коши. Если среди [math]a_k[/math] есть нуль, то неравенство очевидно выполняется и обращается в равенство лишь если все [math]a_k[/math] суть нули. Пусть [math]a_1,...,a_n\gt 0[/math]. Применим неравенство Йенсена к строго выпуклой вверх функции [math]\ln[/math], взяв [math]p_k=1,\ x_k=a_k[/math]. Получим [math]{1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \ln a_k\le \ln\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k\right)[/math], что равносильно неравенству Коши, причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...a_n[/math]. 3. Если [math]r=0\lt s[/math], то по доказанному неравенству Коши [math]M_0(a)=M_0^{1/s}(a^s)\le M_1^{1/s}(a^s)=M_s(a).[/math] 4. Если [math]r\lt s\le0[/math], то [math]0\le-s\lt -r[/math], и по доказанному [math]M_r(a)={1\over M_{-r}({1\over a})}\le {1\over M_{-s}({1\over a})}=M_s(a).[/math] 5. Если [math]r\lt 0\lt s[/math], то [math]M_r(a)\le M_0(a)\le M_s(a).[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о свойствах неопределенного интеграла

Виноградов, том 1, 254

Лемма о свойствах сумм Дарбу

Теорема:

1. [math]S_\tau(f)=\underset{\xi}{\sup}\sigma_\tau(f,\xi),\ s_\tau(f)=\underset{\xi}{\inf}\sigma_\tau(f,\xi)[/math] (грани берутся по всевозможным оснащениям дробления [math]\tau[/math]). 2. При добавлении новых точек дробления верхняя сумма не увеличится, а нижняя - не уменьшится. 3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней (даже отвечающей другому дроблению).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. Очевидно, что [math]f(\xi_k)\le M_k\ \forall k\in[0:n-1][/math] . Умножая эти неравенства на [math]\Delta x_k[/math] и суммируя по [math]k[/math], получаем неравенство [math]\sigma\le S[/math], то есть [math]S[/math] - верхняя граница для интегральных сумм Римана. Докажем, что эта верхняя граница точная. Пусть [math]f[/math] ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и для каждого [math]k[/math] по определению верхней грани подберем [math]\xi^*_k\in[x_k,x_{k+1}]:\ f(\xi^*_k)\gt M_k-{\epsilon\over b-a}[/math]. Тогда [math]\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k\gt S={\epsilon\over b-a}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\Delta x_k=S-\epsilon[/math]. Так как [math]\epsilon[/math] произвольно, [math]S[/math] - точная верхняя граница. Пусть [math]f[/math] не ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Тогда [math]\exists \nu:\ f[/math] - не ограничена сверху на [math][x_\nu,x_{\nu+1}][/math]. Возьмем [math]A\gt 0[/math] и выберем точки [math]\xi^*_k[/math] при [math]k\ne\nu[/math] произвольно, а [math]\xi^*_\nu[/math] - так, чтобы [math]f(\xi^*_\nu)\gt {1\over\Delta x_\nu}\left(A-\underset{k\ne\nu}{\sum}f(\xi^*_k)\Delta x_k\right)[/math]. Тогда [math]\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k\gt A[/math]. Так как [math]A[/math] произвольно, [math]\underset{\xi}{\sup}\sigma=+\infty=S[/math]. 2. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. В силу принципа математической индукции достаточно проверить, что верхняя сумма не увеличится при добавлении одной новой точки дробления. Пусть дробление [math]T[/math] получено из дробления [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] добавлением точки [math]c\in(x_\nu,x_{\nu+1})[/math]. Тогда [math]S_\tau=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M_\nu\Delta x_\nu+\overset{n-1}{\underset{k=\nu+1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math], [math]S_T=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M'(c-x_\nu)+M''(x_{\nu+1}-c)+\underset{k=\nu+1}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math], где [math]M'=\underset{x\in[x_\nu,c]}{\sup}f(x),\ M''=\underset{x\in[c,x_{\nu+1}]}{\sup}f(x)[/math]. Поскольку при сужении множества его супремум не увеличивается, [math]M'\le M_\nu[/math] и [math]M''\le M_\nu[/math]. Поэтому [math]S_\tau-S_T=M_\nu\Delta x_\nu - M'(c-x_\nu)-M''(x_{\nu+1}-c)\ge M_\nu(x_{\nu+1}-x_\nu-c+x_\nu+c-x_{\nu+1} = 0.[/math] 3. Неравенство [math]s_\tau\le S_\tau[/math] между суммами для одного и того же дробления [math]\tau[/math] тривиально. Пусть [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] - два дробления отрезка [math][a,b][/math]. Докажем, что [math]s_{\tau_1} \le S_{\tau_2}[/math]. Положим [math]\tau=\tau_1\cup\tau_2[/math]. Тогда по свойству 2 [math]s_{\tau_1}\le s_\tau\le S_\tau\le S_{\tau_2}.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Критерий интегрируемости Римана

Теорема (Критерий интегрируемости функции):

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Тогда [math]f\in R[a,b][/math] в том и только том случае, когда [math]S_\tau(f) - s_\tau(f)\underset{\lambda\to0}{\to}0[/math], то есть [math]\forall\epsilon\gt 0\ \exists\delta\gt 0\ \forall\tau:\lambda_\tau\lt \delta\ S_\tau(f)-s_\tau(f)\lt \epsilon.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть [math]f\in R[a,b][/math]. Обозначим [math]I=\int^b_af[/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и подберем такое [math]\delta\gt 0[/math] из определения предела интегральных сумм, что для любого оснащенного дробления [math](\tau,\xi)[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math], [math]I-{\epsilon\over3}\lt \sigma_\tau(f,\xi)\lt I+{\epsilon\over3}.[/math] Переходя к супремуму и инфимуму по [math]\xi[/math], в силу свойства 1 получаем: [math]I-{\epsilon\over3}\le s_\tau\le S_\tau\le I+{\epsilon\over3}[/math], откуда [math]S_\tau-s_\tau\le{2\epsilon\over3}\lt \epsilon.[/math] 2. Достаточность. Пусть [math]S_\tau-s_\tau\underset{\lambda\to0}{\to}0[/math]. Тогда все суммы [math]S_\tau[/math] и [math]s_\tau[/math] конечны. [math]\forall\tau\ s_\tau\le I_*\le I^*\le S_\tau[/math], поэтому [math]0\le I^*-I_*\le S_\tau-s_\tau.[/math] Так как правая часть последнего неравенства принимает сколь угодно малые значения, [math]I_*=I^*[/math]. Обозначим общее значение [math]I_*[/math] и [math]I^*[/math] через [math]I[/math] и докажем, что [math]I=\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma[/math]. Из неравенств [math]s_\tau\le I\le S_\tau,\ s_\tau\le\sigma_\tau\le S_\tau[/math] следует, что [math]\vert\sigma_\tau-I\vert\le S_\tau-s_\tau.[/math] По [math]\epsilon\gt 0[/math] можно подобрать такое [math]\delta\gt 0[/math], что для любого дробления [math]\tau[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math], будет [math]S_\tau-s_\tau\lt \epsilon[/math], а тогда для любого оснащения [math]\xi[/math] такого дробления [math]\vert\sigma_\tau(f,\xi)-I\vert\lt \epsilon.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Критерий интегрируемости Римана):

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}.[/math] Тогда [math]f\in R[a,b][/math] в том и только том случае, когда [math]\forall\epsilon\gt 0\ \exists\tau:\ S_\tau(f)-s_\tau(f)\lt \epsilon.[/math]

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде

Теорема (Интегрируемость функции и ее сужения):

1. Если [math]f\in R[a,b],\ [\alpha,\beta]\subset[a,b][/math], то [math]f\in R[\alpha,\beta].[/math] 2. Если [math]a\lt c\lt b,\ f:[a,b]\to\mathbb{R},\ f[/math] интегрируема на [math][a,c][/math] и на [math][c,b][/math], то [math]f\in R[a,b].[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][\alpha,\beta][/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и подберем [math]\delta\gt 0[/math] из критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][a,b][/math]: если ранг дробления [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math] меньше [math]\delta[/math], то [math]S_\tau-s_\tau\lt \varepsilon[/math]. Покажем, что это [math]\delta[/math] подходит и для критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][\alpha,\beta][/math]. Пусть [math]\tau_0[/math] - дробление [math][\alpha,\beta],\ \lambda_{\tau_0}\lt \delta[/math]. Возьмем какие-нибудь дробления отрезков [math][a,\alpha][/math] и [math][\beta,b][/math] (если эти отрезки невырожденные) ранга, меньшего [math]\delta[/math], и объединим их с [math]\tau_0[/math]. Получим дробление [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] отрезка [math][a,b][/math]: [math]a=x_0\lt ...\lt x_\mu=\alpha\lt x_{\mu+1}\lt ...\lt x_\nu=\beta\lt x_{\nu+1}\lt ...\lt x_n=b,[/math] причем [math]\lambda_\tau\lt \delta[/math]. Тогда [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\underset{k=\mu}{\overset{\nu-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\varepsilon.[/math] 2. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]f[/math] не постоянна, то есть что [math]\omega=\omega(f)_{[a,b]}\gt 0[/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math]. По критерию интегрируемости подберем такие [math]\delta_1\gt 0[/math] и [math]\delta_2\gt 0[/math], что для любых дроблений [math]\tau_1[/math] отрезка [math][a,c][/math] и [math]\tau_2[/math] отрезка [math][c,b][/math], удовлетворяющих условиям [math]\lambda_{\tau_1}\lt \delta_1,\ \lambda_{\tau_2}\lt \delta_2[/math], выполняются неравенства [math]S_{\tau_1}-s_{\tau_1}\lt {\varepsilon\over3},\ S_{\tau_2}-s_{\tau_2}\lt {\varepsilon\over3}.[/math] Положим [math]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,{\varepsilon\over3\omega}\}[/math]. Пусть [math]\tau[/math] - дробление [math][a,b],\ \lambda_\tau\lt \delta[/math]. Точка [math]c[/math] не обязана принадлежать [math]\tau[/math]; пусть [math]c\in[x_\nu,x_{\nu+1}).[/math] Обозначим [math]\tau'=\tau\cup\{c\},\ \tau_1=\tau'\cap[a,c],\ \tau_2=\tau'\cap[c,b].[/math] Тогда по выбору [math]\delta[/math] [math]S_\tau-s_\tau\le S_{\tau_1}-s_{\tau_1}+S_{\tau_2}-s_{\tau_2}+\omega_\nu(f)\delta\lt \varepsilon.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Аддитивность интеграла

Теорема (Аддитивность интеграла по отрезку):

Если [math]a,b,c\in\mathbb{R},\ f\in R[\min\{a,b,c\},\max\{a,b,c\}][/math], то [math]\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a\lt c\lt b,\ f\in R[a,b][/math]. Тогда по теореме об интегрируемости функции и ее сужения [math]f\in R[a,c][/math] и [math]f\in R[c,b][/math]. Пусть [math]\{(\bar\tau^{(n)},\bar\xi^{(n)})\}, \{(\bar{\bar\tau}^{(n)},\bar{\bar\xi}^{(n)})\}[/math] - последовательности оснащенных дроблений отрезков [math][a,c][/math] и [math][c,b][/math] на [math]n[/math] равных частей, [math]\tau^{(n)}=\bar\tau^{(n)}\cup\bar{\bar\tau}^{(n)},\ \xi^{(n)}=\bar\xi^{(n)}\cup\bar{\bar\xi}^{(n)},\ \bar\sigma_n,\ \bar{\bar\sigma}_n[/math] и [math]\sigma_n[/math] - соответствующие последовательности интегральных сумм. Тогда [math]\sigma_n=\bar\sigma_n+\bar{\bar\sigma}_n.[/math] Остается перейти к пределу при [math]n\to+\infty.[/math] Если [math]a\lt b\lt c[/math], то по доказанному [math]\int_a^bf=\int_a^cf-\int_b^cf=\int_a^cf+\int_c^bf.[/math] Если [math]a=b[/math], то [math]\int_a^bf=0=\int_a^cf+\int_c^bf.[/math] Остальные случаи разбираются аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Линейность интеграла

Теорема:

Если [math]f,g\in R[a,b],\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math], то [math]\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Интегрируемость [math]\alpha f+\beta g[/math] следует из теоремы об арифметических действиях над интегрируемыми функциями. Остается перейти к пределу в равенстве [math]\sigma_\tau(\alpha f+\beta g)=\alpha\sigma_\tau(f)+\beta\sigma_\tau(g).[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Монотонность интеграла

Теорема:

Если [math]a\lt b,\ f,g\in R[a,b],\ f\le g[/math], то [math]\int_a^bf\le\int_a^bg[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства нужно перейти к пределу в неравенстве [math]\sigma_\tau(f)\le\sigma_\tau(g)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определения и факты

Список

• Ряды Тейлора основных элементарных функций
• Локальный экстремум
• Выпуклое множество в R^m
• Надграфик и подграфик
• Дробление параллелепипеда
• Что значит, что одно дробление мельче другого
• Интеграл функции по параллелепипеду
• Множество объема 0
• Множество меры 0
• Интеграл с переменным верхним пределом
• Кусочно-непрерывная функция
• Почти первообразная
• Несобственный интеграл

Точка возрастания функции

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math]. Если [math]\exists \delta\gt 0:\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\ f(x)\le f(x_0)[/math] и [math]\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\ f(x)\ge f(x_0)[/math], то [math]x_0[/math] называется точкой возрастания функции [math]f[/math].

Стационарная точка

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math]. Если [math]f'(x_0)=0[/math], то [math]x_0[/math] называется стационарной точкой функции [math]f[/math]. Если [math]f'(x_0)=0[/math] или [math]f[/math] не дифференцируема в точке [math]x_0[/math], то [math]x_0[/math] называется критической точкой функции [math]f[/math].

Выпуклая функция

Определение:

Функция [math]f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}[/math] называется: выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]; строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2) \lt tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]. Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math]. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Опорная прямая

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle[/math]. Прямая, задаваемая уравнением [math]y = \ell(x)[/math], называется опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math], если [math]\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)[/math]. Если же [math]\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\gt \ell(x)[/math], то прямая называется строго опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math].

Первообразная

Определение:

Пусть [math]f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Функция [math]F[/math] называется первообразной функции [math]f[/math] на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)[/math].

Таблица первообразных

1. [math]\int0dx=C[/math]

2. [math]\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,\ \alpha\ne-1[/math]

3. [math]\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C[/math]

4. [math]\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C[/math]

5. [math]\int \sin x dx=-\cos x+C[/math]

6. [math]\int \cos x dx=\sin x+C[/math]

7. [math]\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C[/math]

8. [math]\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+C[/math]

9. [math]\int{dx\over\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C[/math]

10. [math]\int{dx\over 1+x^2}=\arctan x+C[/math]

11. [math]\int{dx\over\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1}\vert+C[/math]

12. [math]\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{1+x\over1-x}\right\vert+C[/math]

Дробление отрезка

Определение:

Пусть [math][a,b][/math] - невырожденный отрезок. Набор точек [math]\tau = \{x_k\}^n_{k=0}:\ a=x_0\lt x_1\lt ...\lt x_n=b[/math] называется дроблением отрезка [math][a,b][/math]. Отрезки [math][x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])[/math] называют отрезками дробления, через [math]\Delta x_k[/math] обозначается длина [math]k[/math]-го отрезка дробления. Величина [math]\lambda = \lambda_\tau=\underset{0\le k\le n-1}{max}\Delta x_k[/math] называется рангом или мелкостью дробления [math]\tau[/math]. Набор точек [math]\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}[/math], таких что [math]\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1][/math], называется оснащением дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара [math](\tau, \xi)[/math], называется оснащенным дроблением.

Сумма Дарбу

Определение:

Пусть [math]f: [a,b]\to\mathbb{R},\ \tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] - дробление [math][a,b][/math], [math]M_k=\underset{x\in[x)k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1][/math]. Суммы [math]S=S_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math] и [math]s=s_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k\Delta x_k[/math] называются верхней и нижней интегральными суммами или суммами Дарбу функции [math]f[/math], отвечающими дроблению [math]\tau[/math].

Верхний интеграл Дарбу

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Величины [math]I^*=\underset{\tau}{\inf}S_\tau[/math], и [math]I_*=\underset{\tau}{\sup}s_\tau[/math] называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции [math]f[/math].

Интегрируемая по Риману функция

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Если существует предел интегральных сумм [math]\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma[/math], равный числу [math]I[/math], то функция [math]f[/math] называется интегрируемой по Риману на [math][a,b][/math], а число [math]I[/math] - интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана) от функции [math]f[/math] по отрезку [math][a,b][/math] и обозначается [math]\int^b_af[/math].

Риманова сумма

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Суммы [math]\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k[/math] называются интегральными суммами или суммами Римана функции [math]f[/math], отвечающими оснащенному дроблению [math](\tau,\xi)[/math].

Колебание функции на множестве

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]. Величина [math]\omega(f)_D=\underset{x,y\in D}{\sup}(f(c)-f(y))[/math] называется колебанием функции [math]f[/math] на множестве [math]D[/math].

Интеграл с переменным верхним пределом

Определение:

Пусть [math]E\subset\mathbb{R}[/math] - невырожденный промежуток [math]f:E\to\mathbb{R},\ f[/math] интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в [math]E,\ a\in E[/math]. Функция [math]\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E[/math] называется интегралом с переменным верхним пределом.