Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта

Постановка задачи

Дана цепочка [math]S[/math] и образец [math]T[/math]. Требуется найти все позиции, начиная с которых [math]T[/math] входит в [math]S[/math].

Алгоритм решения

Построим строку [math]P = T\#S[/math], где [math]\#[/math] — любой символ, не входящий в алфавит [math]S[/math] и [math]T[/math]. Посчитаем на ней префикс-функцию [math]\pi()[/math].

Псевдокод

Пусть [math]t = |T|[/math], [math]s = |S|[/math].

 <вычисление префикс-функции для цепочки P>
 count = 0
 for (i = 0 .. (s - 1)) {
   if ([math]\pi[/math](t + i + 1) == t) {
     answer[count] = i + 1 - t
     count = count + 1
   }
 }

Корректность работы

Отметим, что из-за символа [math]\$[/math] значение [math]\pi(k) \leq t[/math] для всех [math]k[/math]. По определению [math]\pi()[/math], если [math]\pi(k) = t[/math], то [math]P[0..t - 1] = P[k - t + 1..k][/math], то есть [math]T = S[k - t - t..k - t - 1][/math], то есть [math]T[/math] входит в [math]S[/math], начиная с позиции [math]k - t - t[/math]. Пусть теперь [math]T[/math] входит в [math]S[/math], начиная с позиции [math]i[/math]. Тогда [math]S[i..i + t - 1] = T[0..t - 1][/math]. Иными словами, [math]P[0..t - 1] = P[t + 1 + i..t + i + t][/math], что эквивалентно [math]\pi(t + i + t) = t[/math].

Время работы

[math]O(s + t)[/math] (время подсчета [math]\pi()[/math] для [math]P[/math]) + [math]O(s)[/math] (последующий [math]for[/math]) [math]= O(s + t)[/math].

Оценка по памяти

Предложенная реализация имеет оценку по памяти [math]O(S+T)[/math]. Оценки [math]O(S)[/math] можно добиться за счет незапоминания значений [math]\pi()[/math] для позиций в [math]P[/math], меньших [math]t + 1[/math] (до начала цепочки [math]S[/math]).