Изменения
Нет описания правки
Пусть порядок <math>a</math> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - изоморфизм. Очевидно, что <math>\phi</math> - гомоморфизм: <math>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</math>. По определению циклической группы <math>\phi</math> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <math>n>m,\,a^n=a^m</math>, тогда <math>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</math>, т.е. порядок <math>a</math> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <math>\phi</math> - биекция, а значит, и изоморфизм.
Пусть теперь порядок <math>a</math> конечен и равен <math>r</math>. Рассмотрим отображение <math>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</math>. Докажем, что <math>\phi</math> - гомоморфизм. Пусть <math>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z_+Z},\, k\geq 0</math>. Тогда:
<math>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</math>
