Теорема о временной иерархии — различия между версиями
Fedor (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Формулировка == '''Теорема о временной иерархии''' утверждает, что для любых двух [[Конструи…») |
Fedor (обсуждение | вклад) (→Формулировка) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Формулировка == | == Формулировка == | ||
'''Теорема о временной иерархии''' утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> таких, что <math> \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0</math>, выполняется <math>DTIME(g(n)) \ne DTIME(f(n))</math>. | '''Теорема о временной иерархии''' утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> таких, что <math> \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0</math>, выполняется <math>DTIME(g(n)) \ne DTIME(f(n))</math>. | ||
| + | == Доказательство == | ||
| + | Зафиксируем <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math>. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим язык <math>L = \{ <m,x> \mid m(<m,x>)</math> не допускает, работая не более <math> f(|<m,x>|)\,\!</math> времени <math>\}\,\!</math> . | ||
| + | |||
| + | Пусть <math>L \in DTIME(f)</math>, тогда для него есть машина Тьюринга <math>m_0\,\!</math> такая, что <math>L(m_0)=L\,\!</math>. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим <math>m_0(<m_0,x>)\,\!</math>. | ||
| + | |||
| + | Пусть <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>. Тогда <math><m_0,x> \in L</math>, в силу определения <math>m_0\,\!</math>. Но в <math>L</math> по определению не может быть пары <math><m_0,x>\,\!</math>, которую допускает <math>m_0\,\!</math>, так как <math>m_0 \in DTIME(f)</math>. Таким образом, получаем противоречие. | ||
| + | |||
| + | Если <math>m_0\,\!</math> не допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, то <math><m_0,x>\,\!</math> не принадлежит языку <math>L\,\!</math>. Это значит, что либо <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, либо не допускает, работая больше времени <math>f(|<m_0,x>|)\,\!</math>. Но <math>L \in DTIME(f)</math>, поэтому <math>m_0\,\!</math> на любом входе <math>x\,\!</math> работает не более <math>f(|x|)\,\!</math> времени. Получаем противоречие. | ||
| + | |||
| + | Следовательно такой машины не существует. Таким образом, <math>L \notin DTIME(f)</math>. | ||
| + | |||
| + | <math>L \in DTIME(g)</math>, так как можно просимулировать машину Тьюринга <math>m_1\,\!</math> такую, что <math>L(m_1)=L\,\!</math>. Для каждой пары <math><m_3,x> \in L</math> рассмотрим <math>m_3(<m_3,x>)\,\!</math>. Если <math>m_3\,\!</math> завершила работу и не допустила, то <math>m_1\,\!</math> допускает <math><m_3,x>\,\!</math>. В другом случае не допускает. Так как любая такая машина работает не более <math>f(|<m_3,x>|)\,\!</math> времени, а <math> \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0</math>, <math>m_1\,\!</math> будет работать не более <math>g(|<m_3,x>|)\,\!</math> времени. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Получается, что <math>L \in DTIME(g(n)) \setminus DTIME(f(n))</math> и <math>L \neq \empty</math>. Следовательно, <math>DTIME(g(n)) \neq DTIME(f(n))</math> | ||
| + | |||
| + | Теорема доказана. | ||
Версия 22:34, 14 марта 2010
Формулировка
Теорема о временной иерархии утверждает, что для любых двух конструируемых по времени функций и таких, что , выполняется .
Доказательство
Зафиксируем и .
Рассмотрим язык не допускает, работая не более времени .
Пусть , тогда для него есть машина Тьюринга такая, что .
Рассмотрим .
Пусть допускает . Тогда , в силу определения . Но в по определению не может быть пары , которую допускает , так как . Таким образом, получаем противоречие.
Если не допускает , то не принадлежит языку . Это значит, что либо допускает , либо не допускает, работая больше времени . Но , поэтому на любом входе работает не более времени. Получаем противоречие.
Следовательно такой машины не существует. Таким образом, .
, так как можно просимулировать машину Тьюринга такую, что . Для каждой пары рассмотрим . Если завершила работу и не допустила, то допускает . В другом случае не допускает. Так как любая такая машина работает не более времени, а , будет работать не более времени.
Получается, что и . Следовательно,
Теорема доказана.
