Группа

Эта статья находится в разработке!

Группа

Моноид [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется группой, если для каждого элемента существует обратный:

[math]\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e[/math]

где [math]e[/math] -- нейтральный элемент моноида.

Обратный элемент единственен. Действительно, пусть [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] -- два обратных к [math]x[/math] элемента. Тогда имеем:

[math]y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2[/math]

Примером группы является множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).