Уравнение Пелля

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Уравнение вида [math]x^2-dy^2=1[/math], где [math]d\in\mathbb{N}[/math] не является квадратом, называется уравнением Пелля

Теорема:

Любое решение уравнения Пелля - подходящая дробь для [math]\sqrt{d}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math]x,y\gt 0[/math], остальные корни получатся из симметрии. Так как [math]\sqrt{d}\geqslant 1[/math], то [math]x\gt y\gt 0[/math]. [math]x+\sqrt{d}y\gt 2y[/math]. Следовательно [math]1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+sqrt{d}y)\gt (x-\sqrt{d}y)2y[/math]. Разделим обе части на [math]2y^2[/math] получим : [math]\frac{x}{y}-\sqrt{d} \lt \frac{1}{2y^2}[/math]. Значит по теореме о приближении [math]\frac{x}{y}[/math] является подходящей дробью для [math]\sqrt{d}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Для любого вещественного числа [math] \epsilon[/math] и натурального [math]N[/math] существует такое целое число [math] a [/math] и натуральное число [math] b [/math], что [math]b\leqslant N[/math] и [math] ~|b\epsilon - a|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим числа 0 и 1, а также дробные части чисел [math]\epsilon, 2\epsilon, \cdots, N\epsilon[/math]. Если все расстояния между этими [math]N+2[/math] числами было больше [math]\frac{1}{N+1}[/math], то приходим к противоречию. Значит какое-то из расстояний не превосходит [math]\frac{1}{N+1}[/math]. Если [math]~|{b2\epsilon} - {b1\epsilon}|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math], где [math]1\leqslant b1 \lt b2 \leqslant N[/math], то [math]~|(b2\epsilon-[b2\epsilon]) - (b1\epsilon-[b1\epsilon])| \leqslant \frac{1}{N+1}[/math]. Так что берём [math]b = b2-b1[/math] и [math]a = [b2\epsilon]-[b1\epsilon] [/math]. Два других случая очевидны.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.