Qqqq

[math]q[/math]

Хеширование - класс методов поиска, идея которого состоит в использовании некоторой частичной информации, полученной из ключа (однозначно характеризующего элемент), в качестве основы поиска. С помощью хеш-функции мы вычисляем хеш-код и используем его для проведения поиска. В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.

Определение:

[math]] U [/math] — множество объектов (универсум). [math]h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 ... m - 1 \mathcal {g}[/math] называется хеш-функцией, где множество [math]S[/math] хранит ключи из множества [math]U[/math]. Если [math]x \in U[/math] значит [math]h(x) \in S[/math] Коллизия: [math]\exists x \neq y : h(x) = h(y)[/math]

Виды хеширования

• По способу хранения
  • Статическое — фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов.
  • Динамическое — добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов.
• По виду хеш-функции
  • Детерминированная хеш-функция и случайные входные данные
  • Случайная хеш-функция и произвольные входные данные

Хеш-таблица

Хеш-табли́ца — структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.

Введение

Существует два основных варианта хеш-таблиц: с цепочками и открытой адресацией. Хеш-таблица содержит некоторый массив [math]H[/math], элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).

Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Получающееся хеш-значение [math]i = h(key)[/math] играет роль индекса в массиве [math]H[/math]. Затем, зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).

Ситуация, когда для различных ключей получается одинаковое хеш-значение (коллизия), встречается не так уж и редко, и зависит от хеш-функции. Чем лучше, используемая хеш-функция, тем меньше вероятность возникновения коллизии. При вставке в хеш-таблицу размером 365 ячеек всего лишь 23-х элементов вероятность коллизии превышает 50 % (при равномерном распределении значений хеш-функции). Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.

Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с прямой адресацией; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление — работают за [math]O(1)[/math].

Если мы поделим число хранимых элементов на размер массива [math]H[/math] (число возможных значений хеш-функции), то узнаем коэффициент заполнения хеш-таблицы (load factor). От этого параметра зависит среднее время выполнения операций.

Свойства хеш-таблицы

На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в связанном списке, а именно [math]\Theta(n)[/math], но на практике хеширование исключительно эффективно. При некоторых разумных допущениях математическое ожидание времени поиска элемента в хеш-таблице составляет [math]O(1)[/math]. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время [math]O(1)[/math]. При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо увеличить размер массива [math]H[/math] и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.

Разрешение коллизий

Открытое хеширование

Разрешение коллизий при помощи цепочек.

Каждая ячейка [math]i[/math] массива [math]H[/math] содержим указать на начало списка всех элементов, хеш-значение ключа которых равно [math]i[/math], иначе ячейка содержит значение [math]NIL[/math]. Коллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента.

Время, необходимое для вставки в наихудшем случае равно [math]O(1)[/math]. Это операция выполняет быстро, так как считается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице, но если потребуется, то перед вставкой мы может выполнить поиск этого элемента. Время работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все [math]n[/math] ключей хешированы в одну и ту же ячейку (создавая список длиной [math]n[/math]) время поиска будет равно [math]\Theta(n)[/math] плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списко для хранения всех [math]n[/math] элементов. Удаления элемента может быть выполнено за [math]O(1)[/math], как и вставка, при использовании двухсвязного списка.

Закрытое хеширование

Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.

В массиве [math]H[/math] хранятся сами пары ключ-значение. Алгоритм вставки элемента проверяет ячейки массива [math]H[/math] в некотором порядке до тех пор, пока не будет найдена первая свободная ячейка, в которую и будет записан новый элемент. Этот порядок вычисляется на лету, что позволяет сэкономить на памяти для указателей, требующихся в хеш-таблицах с цепочками.

Последовательность, в которой просматриваются ячейки хеш-таблицы, называется последовательностью проб. В общем случае, она зависит только от ключа элемента, то есть это последовательность [math]h_0(x)[/math], [math]h_1(x)[/math], ...,[math]h_n[/math][math]_-[/math][math]_1[/math][math](x)[/math], где [math]x[/math] — ключ элемента, а [math]h_i(x)[/math] — произвольные функции, сопоставляющие каждому ключу ячейку в хеш-таблице. Первый элемент в последовательности, как правило, равен значению некоторой хеш-функции от ключа, а остальные считаются от него каким-нибудь способом. Для успешной работы алгоритмов поиска последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.

Алгоритм поиска просматривает ячейки хеш-таблицы в том же самом порядке, что и при вставке, до тех пор, пока не найдется либо элемент с искомым ключом, либо свободная ячейка (что означает отсутствие элемента в хеш-таблице).

Удаление элементов в такой схеме несколько затруднено. Обычно поступают так: заводят булевый флаг для каждой ячейки, помечающий, удален ли элемент в ней или нет. Тогда удаление элемента состоит в установке этого флага для соответствующей ячейки хеш-таблицы, но при этом необходимо модифицировать процедуру поиска существующего элемента так, чтобы она считала удалённые ячейки занятыми, а процедуру добавления — чтобы она их считала свободными и сбрасывала значение флага при добавлении.

Источники

• Дональд Кнут "Искусство программирования" Хеширование
• Хеширование
• Хеш-таблица

Анализ хеширования с цепочками, вы можете найти в книге Томаса Кормена: «Алгоритмы. Построение и анализ.»