Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы

Смежные классы

Левым смежным классом группы [math]G[/math] по множеству [math]H[/math] назовем множество вида [math]aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G[/math] Аналогично определяется и правый смежный класс [math]Ha[/math]. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

Теорема: Левые смежные классы [math]G[/math] по подгруппе [math]H[/math] либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса [math]aH[/math] и [math]bH[/math] с общим элементом [math]c[/math]. Докажем, что [math]aH\subseteq bH[/math]. Пусть [math]g=a\cdot h,\,h\in H[/math] принадлежит [math]aH[/math]. Известно: [math]c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}[/math]. Тогда [math]g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH[/math], поскольку [math]h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H[/math]. Значит, [math]aH\subseteq bH[/math]. Аналогично [math]bH\subseteq aH[/math].

Теорема Лагранжа

Теорема: В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.

Доказательство: Пусть [math]G[/math] - конечная группа, а [math]H[/math] - ее подгруппа. Любой элемент [math]G[/math] входит в некоторый смежный класс по [math]H[/math] ([math]a[/math] входит в [math]aH[/math]). Мощность каждого класса равна [math]\vert H\vert[/math], т.к. отображение [math]x\rightarrow a\cdot x биективно[/math]. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что [math]\vert G\vert[/math] делится на [math]\vert H\vert[/math].

Следствие: [math]a^{\vert G\vert}=e[/math]. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу [math]H=\langle a\rangle[/math]: ее порядок равен порядку элемента [math]a[/math], но [math]a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e[/math].

Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве [math]G[/math] группу [math]\mathbb{Z}_p[/math], получаем при [math]a\lt p[/math]:

[math]a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p[/math]

Нормальные подгруппы

Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если для любых [math]x\in G[/math] выполнено [math]xHx^{-1}=H[/math]. Т.е.:

[math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math]

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] - множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

[math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]

Таким образом, фактормножество [math]G/H[/math] образует подгруппу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] - [math]a^{-1}H[/math].