NP-полнота задачи о вершинном покрытии — различия между версиями
(создание странички) |
м (→Задача о вершинном покрытии является NP-трудной) |
||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP. | Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP. | ||
===Задача о вершинном покрытии является NP-трудной=== | ===Задача о вершинном покрытии является NP-трудной=== | ||
| − | Для доказательства сведем по Карпу задачу о независимом множестве к нашей. | + | Для доказательства сведем по Карпу [[Задача о независимом множестве|задачу о независимом множестве]] к нашей. |
<math>IND \le_{k} COVER</math> | <math>IND \le_{k} COVER</math> | ||
| Строка 13: | Строка 13: | ||
Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | ||
| + | |||
===Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP=== | ===Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP=== | ||
В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. Если в графе <math>e</math> ребер, то за время <math>O(ek)</math> можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе. | В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. Если в графе <math>e</math> ребер, то за время <math>O(ek)</math> можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе. | ||
Версия 18:41, 15 марта 2010
Содержание
Определение
Вершинным покрытием графа называется такое множество его вершин, что у любого ребра в хотя бы одна из вершин лежит в . Размер вершинного покрытия - это число входящих в него вершин
Формулировка
Задача о вершинном покрытии(COVER) состоит в нахождении вершинного покрытия размера , где - некоторое натуральное число.
Доказательство NP-полноты
Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
Задача о вершинном покрытии является NP-трудной
Для доказательства сведем по Карпу задачу о независимом множестве к нашей.
Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе выбрано независимое множество вершин . Тогда у любого ребра из одна из вершин не лежит в , так как иначе какие-то две вершины в были бы соединены ребром. Значит дополнение - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе выбрано вершинное покрытие . Любому ребру в инциндентна хотя бы одна вершина из , значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения , поэтому дополнение - независимое множество.
Пусть в графе c вершинами необходимо найти независимое множество размера . По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в есть вершинное покрытие размера . Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время
Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP
В качестве сертификата возьмем набор из вершин. Если в графе ребер, то за время можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе.
