Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи

Определения

Определение:

[math]D[/math] — класс языков, удовлетворяющих некоторым ограничениям; [math]\widetilde{D}[/math] — класс вычислимых функций, удовлетворяющих тем же ограничениям. Язык [math]L_1[/math] сводится к языку [math]L_2[/math] относительно [math]\widetilde{D}[/math] ([math]L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2[/math]), если существует такая функция [math]f[/math] из [math]\widetilde{D}[/math], что [math]x[/math] принадлежит [math]L_1[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x)[/math] принадлежит [math]L_2[/math]: [math] (L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \widetilde{D} : x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 ) [/math].

Определение:

Сведение относительно [math]\widetilde{P}[/math] называется сведением по Карпу.

Замечание. Часто используется именно сведение по Карпу, поэтому слова «относительно сведения по Карпу» и индекс у символа сведения обычно опускают.

Простой пример сведения по Карпу

Зададим следующие языки:

• [math]IND[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — число, такое, что в [math]G[/math] есть независимое множество размера [math]k[/math].
• [math]CLIQUE[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — число, такое, что в [math]G[/math] есть клика размера [math]k[/math].

Теорема:

[math]IND \leq CLIQUE[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f( \langle G, k \rangle ) = \langle \overline{G}, k \rangle[/math], где [math]\overline{G}[/math] — дополнение графа [math]G[/math]. [math]f[/math] вычислима за линейное время от длины входа, если граф задан в виде матрицы смежности. ([math]x \in L_1 \Rightarrow f(x) \in L_2[/math]). Заметим, что, если в [math]G[/math] было независимое множество размера [math]k[/math], то в [math]\overline{G}[/math] будет клика такого же размера (вершины, которые были в независимом множестве, в [math]\overline{G}[/math] попарно соединены рёбрами и образуют клику). ([math]x \in L_1 \Leftarrow f(x) \in L_2[/math]). Обратно, если в [math]\overline{G}[/math] есть клика размера [math]k[/math], то в исходном графе было независимое множество размера [math]k[/math]. Таким образом, [math]IND \leq CLIQUE[/math] по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Другие примеры сведения по Карпу приведены в статье, содержащей примеры NP-полных языков.

Свойства сведения

Теорема (о транзитивности):

Сведение по Карпу транзитивно, то есть: [math] ( L_1 \leq L_2, L_2 \leq L_3 ) \Rightarrow L_1 \leq L_3 [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] — функции из определения сведения для [math] L_1 \leq L_2 [/math] и [math] L_2 \leq L_3 [/math] соответственно. Из определения следует: [math]x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 \Leftrightarrow g(f(x)) \in L_3[/math]. Проверим, что [math]g(f(x))[/math] вычислима за полиномиальное время от [math]|x|[/math]. В самом деле, сначала нужно вычислить [math]f(x)[/math], на это необходимо не более, чем [math]p_1(|x|)[/math] времени ([math]p_1[/math] — полином, не умаляя общности можно считать, что он монотонно неубывающий). Более того, длина входа [math]g[/math] в [math]g(f(x))[/math] не превышает того же [math]p_1(|x|)[/math], так как за единицу времени может быть выведен максимум один символ. Значит, вычисление [math]g[/math] на [math]f(x)[/math] займёт времени не более, чем [math]p_2(|f(x)|)[/math] ([math]p_2[/math] — тоже полином, тоже монотонно неубывающий), что, по выше сказанному, не превосходит [math]p_2(p_1(|x|))[/math]. В итоге получаем, что итоговое время работы [math]g(f(x))[/math] не более, чем [math]p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)[/math], что является полиномом от [math]|x|[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math](L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2) \Leftrightarrow (\overline {L_1} \leq_{\widetilde{D}} \overline {L_2})[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению сведения существует такая функция [math]f[/math] из класса [math]\widetilde{D}[/math], что [math]x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2[/math]. Для того, чтобы свести [math]\overline{L_1}[/math] к [math]\overline{L_2}[/math] будем использовать ту же функцию [math]f[/math]. В самом деле: [math]( x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 ) \iff ( \overline{x \in L_1} \Leftrightarrow \overline{f(x) \in L_2} ) [/math] [math]\iff ( x \in \overline{L_1} \Leftrightarrow f(x) \in \overline{L_2} ) \iff (\overline {L_1} \leq_{\widetilde{D}} \overline {L_2})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определения трудных и сложных задач

Определение:

[math]C[/math] — сложностный класс, [math]\widetilde{D}[/math] — класс вычислимых функций. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-трудным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения ([math]C[/math]-hard), если любой язык [math]M[/math] из [math]C[/math] сводится к [math]L[/math] относительно [math]\widetilde{D}[/math]: [math] (L [/math] — [math]C[/math]-hard [math]) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Leftrightarrow} ( \forall M \in C \Rightarrow M \leq_{f} L, f \in \widetilde{D} ) [/math].

Определение:

[math]C[/math] — сложностный класс, [math]\widetilde{D}[/math] — класс вычислимых функций. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-полным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения ([math]C[/math]-complete), если [math]L[/math] является [math]C[/math]-трудным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения и сам лежит в [math]C[/math].