88
правок
Изменения
Нет описания правки
Точки <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex> разбивают отрезок на три части. Потребуем, чтобы одновременно выполнялось:
<tex> \frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \phi varphi </tex>
<tex> \frac{a}{b} = \phi varphi </tex>
<tex> \frac{c}{b} = \phi varphi </tex>
Где <tex> \phi varphi </tex> - это некоторое отношение, в котором мы делим отрезок (точки <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex> разбивают отрезок симметрично).
Тогда:
<tex> a + b = \phi varphi c, a = \phi varphi b, c = \phi varphi b</tex>, откуда получаем <tex> \phi varphi + 1 = \phivarphi^2 \Rightarrow \phi varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</tex> (тот корень уравнения, который меньше нуля, по понятным причинам отбросили).
Это число совпадает с золотым сечением. Отсюда название метода.
Для реализации алгоритма нам потребуется найти <tex> a </tex> и <tex> a + b </tex>. Если <tex> L </tex> - длина исследуемого отрезка, тогда:
<tex> (\frac{b + c}{a} = \phivarphi;\; b + c = L - a) \Rightarrow</tex>
<tex> a = \frac{L}{\phi varphi + 1} </tex>
<tex> a + b = L - c = L - a = L - \frac{L}{\phi varphi + 1}</tex>
Причем, заметим что в силу того что <tex>\phivarphi</tex> - золотое сечение, то <tex>\frac{1}{\phi varphi + 1} = 2 - \phivarphi</tex>.
Формально для поиска минимума (для максимума - делается аналогично) функции <tex> f </tex> делаем следующее:
:'''Шаг 1''':
::Определяем границы поиска <tex>lbound</tex> и <tex>rbound</tex>, затем устанавливаем текущее разбиение:
::<tex>x_1 = lbound + \frac{rbound - lbound}{\phi varphi + 1}</tex> ::<tex>x_2 = rbound - \frac{rbound - lbound}{\phi varphi + 1}</tex>
::и вычислим функцию на них: <tex>f_1 = f(x_1), f_2 = f(x_2)</tex>
[[Файл:Nextsection.gif|thumb|380px|Старая точка x1 уже делит отрезок в нужном отношении, поэтому нет необходимости вычислять ее заново (красным отмечены новые значения точек).]]
::: <tex>rbound = x_2</tex>
::: <tex>x_2 = x_1, f_2 = f_1</tex>
::: <tex>x_1 = lbound + \frac{rbound - lbound}{\phi varphi + 1},\; f_1 = f(x_1)</tex>
:: иначе:
::: <tex>lbound = x_1</tex>
::: <tex>x_1 = x_2, f_1 = f_2</tex>
::: <tex>x_2 = rbound - \frac{rbound - lbound}{\phi varphi + 1},\; f_2 = f(x_2)</tex>
:'''Шаг 3''':
:: если точность <tex>|rbound - lbound| < \varepsilon</tex> нас устраивает, тогда останавливаемся, и искомая точка <tex>x = \frac{lbound + rbound}{2}</tex>, иначе назад к шагу 2
return (x1 + x2) / 2
==Время работы==
На каждой итерации исследуемый отрезок сокращается в <tex>\phivarphi</tex> раз и делается один расчет функции. Делается это до тех пор, пока не станет <tex>|L| < \varepsilon</tex>. Если считать, что одна итерация выполняется за 1 времени, то потребуется <tex> n </tex> операций, чтобы: <tex>L \cdot (\frac{1}{\phivarphi})^n < \varepsilon \Rightarrow n = [log_{\phivarphi}(\frac{L}{\varepsilon})]</tex>.
Значит, время работы можно оценивать как <tex> log_{\phivarphi}(\frac{L}{\varepsilon})</tex>.
Если удельный вес вычисления функции <tex> f </tex> достаточно большой, тогда получим ускорение работы примерно в 2,3 раз по сравнению с неулучшенным [[Троичный поиск|троичным поиском]].
