Изменения

Классы чисел

3476 байт добавлено, 11:20, 30 июня 2010

Нет описания правки

==Натуральные числа==

'''Натура́льные чи́сла''' (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <math>\mathbb{N}</math>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

==Определение натуральных чисел==

===Неформатное определение===

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);

* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

~~Отрицательные~~ ===Аксиомы Пеано=== Множество <math>\mathbb N</math> будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент <math> 1\in\mathbb N</math> (единица) и ~~нецелые~~ функция <math>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</math> (функция следования) так, что выполнены следующие условия# <math>1\in\mathbb{N}</math> (<math>1</math> является натуральным числом);# Если <math>x\in\mathbb{N}</math>, то <math>S(x)\in\mathbb{N}</math> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);# <math>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</math> ('''1''' не следует ни за каким натуральным числом);# Если <math>S(b)=a</math> и <math>S(c)=a</math>, тогда <math>b=c</math> (если натуральное число <math>a</math> непосредственно следует как за числом <math>b</math>, так и за числом <math>c</math>, то <math>b=c</math>);# '''Аксиома индукции'''. Пусть <math>P(n)</math> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа ~~натуральными числами не являются~~<math>n</math>. Тогда::: если <math>P(1)</math> и <math>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</math>, то <math>\forall n\;P(n)</math>:: ('''Если''' некоторое высказывание <math>P</math> верно для <math>n=1</math> (''база индукции'') и для любого <math>n</math> при допущении, что верно <math>P(n)</math>, верно и <math>P(n+1)</math> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <math>P(n)</math> верно для любых натуральных <math>n</math>). ===Теоретико-множественное определение=== Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество. Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:* <math>0=\varnothing</math>* <math>S(n)=n\cup\left\{n\right\}</math>Числа, заданные таким образом, называются ординальными. Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:* <math>0=\varnothing</math>* <math>1=\left\{\varnothing\right\}</math>* <math>2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}</math>* <math>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</math> Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <math>\mathbb{N}</math>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное числоПеречисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

[[Категория: Классы чисел]]

Mamoshkin.Arseny

153

правки

Изменения

Классы чисел

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты