Схемная сложность и класс P/poly — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
== Определения ==
 
== Определения ==
−
{{Определение
 
−
|definition=
 
−
<tex>P/poly=\{L | \forall n </tex> существует [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логическая схема]] <tex> C_n </tex> с <tex> n </tex> входами и одним выходом такая, что:
 
−
#размеры <tex> C_n \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;
 
−
#<tex>x \in L \iff C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.
 
−
}}
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 25: Строка 19:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Пусть <tex> F = \{f_i\}</tex>. Тогда <tex> C/F = \bigcup\limits_{f \in F} C/f </tex>.  
+
<tex> P/poly = \bigcup\limits_{p \in poly} P/p </tex>.  
 
}}
 
}}
  

Версия 00:57, 17 мая 2012

Определения

Определение:
[math] PSIZE [/math] — класс языков, вычислимых семейством логических схем [math] \{C_n\}_{n\gt 0} [/math] полиномиального размера с n входами и одним выходом, то есть: [math]PSIZE=\{L | \forall n [/math] [math] \exists C_n [/math]:
  1. Size [math] (C_n) \leqslant p(n)[/math], где [math] p [/math] — полином;
  2. Input [math] (C_n) = n [/math];
  3. Output [math] (C_n) = 1 [/math];
  4. [math]x \in L \iff C_{|x|}(x) = 1 \}[/math].


Определение:
Пусть C — сложностный класс, f — функция. Тогда [math] C/f = \{L| [/math] существуют [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math] — подсказки, программа p, удовлетворяющая ограничениям C:
  1. [math]|a_i| \leqslant f(i) [/math];
  2. [math] x \in L \iff p(x, a_{|x|})=1 \}[/math].


Определение:
[math] P/poly = \bigcup\limits_{p \in poly} P/p [/math].


Теоремы

Теорема:
[math] P \subset P/poly [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] L \in P \Rightarrow \exists [/math] машина Тьюринга m такая, что [math] L(m)=L [/math]. Составим логическую схему для m, как мы сделали в теореме Кука. Отсюда следует, что [math] P \subset P/poly [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Схемная сложность полином [math] \subset P/poly[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] L \in [/math] схемная сложность полином. Тогда [math] \exists C_0, C_1, .., C_n, .. [/math]. Запишем программу 

[math] p(x, C_{|x|}) [/math]:
    return [math]C_{|x|}(x) [/math]
Теорема выполняется.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math] P/poly \subset [/math] схемная сложность полином.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math] L \in P/poly [/math]. Тогда существуют [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math] — подсказки. Зафиксируем n. Числу соответствует логическая схема [math] C_n [/math]. Запишем программу p в виде логической схемы, которая принимает на вход слово длины n и подсказку [math] a_n [/math], за счет чего распознаваться будут только слова из языка. Зашьем подсказку в самой схеме, теперь она принимает только слова длины n и определяет их принадлежность языку.
[math]\triangleleft[/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Схемная_сложность_и_класс_P/poly&oldid=22418»