Алгоритм Киркпатрика детализации триангуляции

Мотивация

Существует ли метод локализации со временем поиска за [math]O(\log n)[/math], использующий менее чем квадратичную память? Эта задача оставалась не решенной довольно долго. Но все же была решена Липтоном и Тарьяном в 1977-1980 гг. Но их метод оказался на столько громоздким, а оценки времени его эффективности содержат слишком большую константу, что сами авторы не считали этот метод практичным, но его существование заставляет думать, что может найтись практичный алгоритм с временной оценкой [math]O(\log n)[/math] и линейной памятью.

Недавно Киркпатриком был предложен оптимальный метод, дающий ответ на ожидания Липтона и Тарьяна, — детализация триангуляции.

Описание алгоритма

Предобработка

<wikitex>Пусть планарный N-вершинный граф задает триангуляцию нашего многоугольника (если это не так, то воспользуемся методом триангуляции многоугольника за время $O (n \log n)$. Напомним, что триангуляция на множестве вершин $V$ есть планарный граф с не более чем $3 |V| - 6$ ребрами (формула Эйлера). Для удобства описания алгоритма поместим нашу триангуляцию в охватывающий треугольник и построим триангуляцию области между нашими объектами. После этого преобразования все триангуляции будут обладать тремя границами и ровно $3 |V| - 6$ ребрами. </wikitex>

Структура данных

<wikitex>Итак, имеется N-вершинная триангуляция $G$, и пусть строится последовательность триангуляций $S_1, S_2, \dots, S_{h(N)}$, где $S_1 = G$, а $S_i$ получается из $S_{i - 1}$ по следующим правилам:

• Шаг 1. Удалим некоторое количество неграничных и независимых (попарно несмежных друг с другом) вершин и инцидентные им ребра (от выбора этого множества напрямую зависит оптимальность алгоритма).
• Шаг 2. Построить триангуляцию получившихся в результате шага 1 многоугольников.

</wikitex>