1679
правок
Изменения
Новая страница: «Аналитическая функция на области D (открытом связном мн-ве) — функция, имеющая непрерывн...»
Аналитическая функция на области D (открытом связном мн-ве) — функция, имеющая непрерывную производную на этой области.
Функция аналитична в точке, если она аналитична в некоторой ее окрестности.
== Условия Коши-Римана ==
<tex> w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z \in D </tex>
Чтобы функция <tex> f(z) </tex> была аналитической на области <tex> D </tex>, необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого порядка функций <tex> u </tex> и <tex> v </tex> были непрерывны на <tex> D </tex> и удовлетворяли условиям Коши-Римана:
: <tex> \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} </tex>
: <tex> \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} </tex>
== Гармоническая функция ==
<tex> f(z) = u(x, y) + iv(x, y) </tex>
Если <tex> f </tex> аналитична, то <tex> u </tex> и <tex> v </tex> должны быть гармоническими функциями, то есть иметь непрерывные частные производные второго порядка на <tex> D </tex> и удовлетворять условию Лапласа:
: <tex> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 u}{{\partial y}^2} = 0</tex>
: <tex> \Delta u = \frac{\partial^2 v}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 v}{{\partial y}^2} = 0</tex>
== Интегрирование ==
<tex>
\int\limits_L f(z) dz =
\int\limits_L (u + iv) (dx + iy) dz =
\int\limits_L (u dx - v dy) + i \int\limits_L (v dx + u dy) = \\
\int\limits_a^b [u(x(t), y(t)) x'(t) - v(x(t), y(t)) y'(t)] dt + i \int\limits_a^b [v(x(t), y(t)) x'(t) + u(x(t), y(t)) y'(t)] dt = \\
\int\limits_a^b f[z(t)] z'(t) dt </tex>
Функция аналитична в точке, если она аналитична в некоторой ее окрестности.
== Условия Коши-Римана ==
<tex> w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z \in D </tex>
Чтобы функция <tex> f(z) </tex> была аналитической на области <tex> D </tex>, необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого порядка функций <tex> u </tex> и <tex> v </tex> были непрерывны на <tex> D </tex> и удовлетворяли условиям Коши-Римана:
: <tex> \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} </tex>
: <tex> \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} </tex>
== Гармоническая функция ==
<tex> f(z) = u(x, y) + iv(x, y) </tex>
Если <tex> f </tex> аналитична, то <tex> u </tex> и <tex> v </tex> должны быть гармоническими функциями, то есть иметь непрерывные частные производные второго порядка на <tex> D </tex> и удовлетворять условию Лапласа:
: <tex> \Delta u = \frac{\partial^2 u}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 u}{{\partial y}^2} = 0</tex>
: <tex> \Delta u = \frac{\partial^2 v}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2 v}{{\partial y}^2} = 0</tex>
== Интегрирование ==
<tex>
\int\limits_L f(z) dz =
\int\limits_L (u + iv) (dx + iy) dz =
\int\limits_L (u dx - v dy) + i \int\limits_L (v dx + u dy) = \\
\int\limits_a^b [u(x(t), y(t)) x'(t) - v(x(t), y(t)) y'(t)] dt + i \int\limits_a^b [v(x(t), y(t)) x'(t) + u(x(t), y(t)) y'(t)] dt = \\
\int\limits_a^b f[z(t)] z'(t) dt </tex>
