Многомерное дерево отрезков

Дерево отрезков естественным образом обобщается на двумерный и вообще говоря многомерный случай. Такая структура данных может вычислять значение некоторой ассоциативной функции на гиперпрямоугольнике за [math]O(\log^{p} n)[/math], где [math]p[/math] — размерность пространства, а [math]n[/math] — ширина гиперкуба на котором производятся вычисления.

Структура

[math]n[/math]-мерное дерево отрезков — обычное дерево отрезков, элементами которого являются деревья отрезков размерности на 1 меньше. Основная идея заключается в рекурсивном переходе к деревьям меньшей размерности. Рассмотрим работу этого принципа на следующем примере. Пусть задано [math]p[/math]-мерное пространство с координатными осями [math]x_1, x_2, x_3...x_p[/math]. Необходимо вычислять некоторую ассоциативную функцию на гиперпрямоугольнике. Для этого сначала найдем элементы дерева, соответствующие [math]x_1[/math] координате. Для каждого из этих элементов рекурсивно перейдем в соответствующие им деревья отрезков и в них найдем элементы, отвечающие соответствующим координатам [math]x_2[/math] исходной гиперпрямоугольной области, и т. д. Таким образом, алгоритм совершит [math]p[/math] вхождений в рекурсию, каждая итерация которой работает за [math]O(\log n)[/math] и получим необходимую асимптотику.

Двумерное дерево отрезков

Рассмотрим следующую задачу.

Задача:

Дано поле размером [math]N \times M[/math], заполненное некоторыми числами. Необходимо уметь обрабатывать два типа запросов: Изменить некоторый элемент Посчитать значение некоторой ассоциативной функции [math]\times[/math] на прямоугольной области

Хранение

Пример двумерного дерева отрезков для 16 элементов

Двумерное дерево отрезков удобно хранить в виде массива, размером [math]4N \times 4M[/math]. Каждая строчка такого массива соответствует некоторому отрезку по первой координате. Сама же строчка является деревом отрезков по второй координате.

На рисунке справа показан пример дерева отрезков для суммы на массиве 4 на 4, заполненного числами от 1 от 16. Например, в элементе [math]a[2][0] = 100[/math] хранится сумма элементов, соответствующих отрезку [math][2..3][/math] по первой координате и [math][0..3][/math] по второй в исходном массиве. А в ячейке [math]a[0][0] = 136[/math] хранится сумма всех элементов.

Интересно, что если построить дерево вначале по второй координате, а потом по первой, то получившийся массив будет таким же. Т. е. данный двумерный массив можно рассматривать как массив деревьев отрезков, где каждое дерево соответствует некоторому отрезку по второй координате, а в нем хранятся суммы по первой.

Заметим, что в общем случае для хранения [math]p[/math]-мерного дерева отрезков требуется [math]4^p n[/math] памяти, где [math]n[/math] — общее количество элементов.

Псевдокод для двумерного случая

Построение:

// first call - buildX(0, 0, n, a, t)
// a - исходный массив
// t - массив дерева отрезков
// [leftX, rightX) - полуинтервал

buildX(vertexX, leftX, rightX, a[][], t[][])
 if leftX != rightX
   mx = (leftX + rightX + 1) / 2
   buildX(vertexX * 2 + 1, leftX, mx, a, t)
   buildX(vertexX * 2 + 2, mx, rightX, a, t)
 buildY(vertexX, leftX, rightX, 0, 0, m, a, t)

buildY(vertexX, leftX, rightX, vertexY, leftY, rightY, a[][], t[][])
 if leftY == rightY
   if leftX == rightX
     t[vertexX][vertexY] = a[leftX][leftY] 
   else
     t[vertexX][vertexY] = t[vertexX * 2 + 1][vertexY] [math]\times[/math] t[vertexX * 2 + 2][vertexY]
 else
   my = (leftY + rightY + 1) / 2
   buildY(vertexX, leftX, rightX, vertexY * 2 + 1, leftY, my, a, t)
   buildY(vertexX, leftX, rightX, vertexY * 2 + 2, my, rightY, a, t)
   t[vertexX][vertexY] = t[vertexX][vertexY * 2 + 1] [math]\times[/math] t[vertexX][vertexY * 2 + 2]

Подсчет некоторой функции от элементов, лежащих в прямоугольной области:

// first call - sumX(0, 0, n - 1, leftX, rightX, leftY, rightY, t)

operationX(vertexX, leftX, rightX, needLeftX, needRightX, needLeftY, needRightY, t[][])
 if needLeftX > needRightX
  return 0
 if leftX == needLeftX && rightX == needRightX
  return operationY(vertexX, 0, 0, m - 1, needLeftY, needRightY)
 med = (leftX + rightX) / 2
 return operationX(vertexX * 2 + 1, leftX, med, leftX, min(needRightX, med), needLeftY, needRightY, t) [math]\times[/math]
        operationX(vertexX * 2 + 2, med + 1, rightX, max(needLeftX, med + 1), needRightX, needLeftY, needRightY, t)

operationY(vertexX, vertexY, leftY, rightY, needLeftY, needRightY)
 if needLeftY > needRightY
  return 0
 if leftY == needLeftY && rightY == needRightY
  return t[vertexX][vertexY]
 med = (leftY + rightY) / 2
 return operationY(vertexX, vertexY * 2 + 1, leftY, med, needLeftY, min(needRightY, med), t) [math]\times[/math]
        operationY(vertexX, vertexY * 2 + 2, med + 1, rightY, max(needLeftY, med + 1), needRightY, t)

Обновление элемента:

// first call - updateX(0, 0, n - 1, x, y, val, t)

updateX(vertexX, leftX, rightX, x, y, val, t[][])
 if leftX != rightX
  mx = (leftX + rightX) / 2
  if x <= mx
   updateX(vertexX * 2 + 1, leftX, mx, x, y, val, t)
  else
   updateX(vertexX * 2 + 2, mx + 1, rightX, x, y, val, t)
 updateY(vertexX, leftX, rightX, 0, 0, m - 1, x, y, val, t)

updateY(vertexX, leftX, rightX, vertexY, leftY, rightY, x, y, val, t[][])
 if leftY == rightY
  if leftX == rightX
   t[vertexX][vertexY] = val
  else
   t[vertexX][vertexY] = t[vertexX * 2 + 1][vertexY] [math]\times[/math] t[vertexX * 2 + 2][vertexY]
 else
  my = (leftY + rightY) / 2
  if y <= my
   updateY(vertexX, leftX, rightX, vertexY * 2 + 1, leftY, my, x, y, val, t)
  else
   updateY(vertexX, leftX, rightX, vertexY * 2 + 2, my + 1, rightY, x, y, val, t) 
  t[vertexX][vertexY] = t[vertexX][vertexY * 2 + 1] [math]\times[/math] t[vertexX][vertexY * 2 + 2]   

Многомерный случай

Рассмотрим, как изменяться функции при переходе к [math]n[/math]-мерному случаю.

Например, для операции обновления дерева отрезков изменения будут следующими. В коде будут присутствовать [math]n[/math] функций update (для каждой из координат). Реально будут только две различные реализации этих функций (первая, при нахождении необходимых листьев дерева, рекурсивно переходит к следующей координате, вторая — только возвращает значение из массива). Мы можем не писать [math]n[/math] одинаковых реализаций в коде, но тогда дерево отрезков придется хранить не в [math]n[/math]-мерном массиве, а в одномерном (это не сильно усложнит реализацию, но понятность кода уменьшится).

Рассмотрим более подробно устройство такой функции. В качестве параметров она должна принимать область, на которой считается операция, информацию о том, из каких ячеек массива мы рекурсивно спустились, отрезок, который обрабатывается по текущей координате и необходимый нам отрезок, а также номер текущей ячейки массива.

operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, rightBorder, needLeft, needRight, vertex)

Вначале следует проверить, что обрабатываемый отрезок не пустой (иначе вернуть нейтральный элемент для операции)

if leftBorder > rigthBorder
 return 0

Потом, если текущий отрезок совпадает с искомым, необходимо перейти к поиску по следующей координате

if leftBorder == needLeft && rightBorder == needRight
 return operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, vertex, 0, m - 1, area[P + 2].left, area[P + 2].right, 0)

Если же отрезок не совпадает, то делим его пополам и рекурсивно вызываемся от его частей

med = (leftBorder + rightBorder) / 2
return operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, med, needLeft, min(needRight, med), vertex * 2 + 1) [math]\times[/math]
       operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, med + 1, rightBorder, max(needLeft, med + 1), needRight, vertex * 2 + 2)

В реализации для последней координаты вместо рекурсивного перехода следует вернуть значение из массива

if leftBorder == needLeft && rightBorder == needRight
 return t[x1][x2]...[xP][vertex]

Теперь рассмотрим операцию обновления. По аналогии напишем [math]n[/math] функций, в каждой из которых сделаем следующее:

• Если рассматриваемый отрезок содержит больше одного элемента, разобьем его на две части и рекурсивно перейдем в ту, где находится необходимый элемент
• Перейдем к следующей координате или обновим массив (для последней координаты)

Псевдокод:

update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, rightBorder, vertex)
 if leftBorder == rightBorder
  if последняя координата
   for I = 1..n
    if xILeft != xIRigth
     t[x1][x2]...[xP][vertex] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[vertex] [math]\times[/math] t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[vertex]
     return
   t[x1][x2]...[xP][vertex] = newElem.value
  else
   update(newElem, x1, x2, ..., xP, vertex, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)
 else
  med = (leftBorder + rightBorder) / 2
  if med >= newElem.x(P+1)
   update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, vertex * 2 + 1)
  else
   update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, vertex * 2 + 2)
  update(newElem, x1, x2, ..., xP, vertex, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)

Источники

• Дерево отрезков — e-maxx.ru
• Двумерное дерево отрезков — habrahabr.ru

См. также

• Дерево отрезков. Построение
• Сжатое многомерное дерево отрезков
• Многомерное дерево Фенвика