Схемная сложность и класс P/poly — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Теоремы)
Строка 26: Строка 26:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
−
<tex> P \subset P/poly </tex>.
+
<tex> P \subset PSIZE </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
−
<tex> L \in P \Rightarrow \exists </tex> машина Тьюринга m такая, что <tex> L(m)=L </tex>. Составим логическую схему для m, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]]. Отсюда следует, что <tex> P \subset P/poly </tex>.
+
Пусть <tex> L \in P </tex>. Тогда существует машина Тьюринга m, распознающая язык L. Составим логическую схему для m, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]], ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что <tex> P \subset PSIZE </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 46: Строка 46:
 
<tex> P/poly \subset PSIZE</tex>.
 
<tex> P/poly \subset PSIZE</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
−
Пусть <tex> L \in P/poly </tex>, x {{---}} входная строка. Тогда для L существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа p по входу x и подсказке <tex> a_{|x|} </tex> определяет принадлежность x языку L. Зафиксируем длину входной строки x как n. Запишем p в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины n и подсказку <tex> a_n </tex>. Зашьем подсказку в самой схеме. Получим схему <tex> C_n </tex>, принимающую слова длины n и определяющую их принадлежность языку L.    
+
Пусть <tex> L \in P/poly </tex>, x {{---}} входная строка. Тогда для L существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа p по входу x и подсказке <tex> a_{|x|} </tex> определяет принадлежность x языку L. Зафиксируем длину входной строки x как n. Запишем p в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины n и подсказку <tex> a_n </tex>. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему <tex> C_n </tex> полиномиального размера, принимающую слова длины n и определяющую их принадлежность языку L. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, <tex> P/poly \subset PSIZE </tex>.   
 
}}
 
}}

Версия 18:49, 27 мая 2012

Определения

Определение:
[math] PSIZE [/math] — класс языков, вычислимых семейством логических схем [math] \{C_n\}_{n\gt 0} [/math] полиномиального размера с n входами и одним выходом, то есть: [math]PSIZE=\{L | \forall n [/math] [math] \exists C_n [/math]:
  1. [math] |C_n| \leqslant p(n)[/math], где [math] p [/math] — полином;
  2. Input [math] (C_n) = n [/math];
  3. Output [math] (C_n) = 1 [/math];
  4. [math]x \in L \iff C_{|x|}(x) = 1 \}[/math].


Определение:
Пусть C — сложностный класс, f — функция. Тогда [math] C/f = \{L| [/math] существуют [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math] — подсказки, программа p, удовлетворяющая ограничениям C:
  1. [math]|a_i| \leqslant f(i) [/math];
  2. [math] x \in L \iff p(x, a_{|x|})=1 \}[/math].


Определение:
[math] P/poly = \bigcup\limits_{p \in poly} P/p [/math].


Теоремы

Теорема:
[math] P \subset PSIZE [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math] L \in P [/math]. Тогда существует машина Тьюринга m, распознающая язык L. Составим логическую схему для m, как мы сделали в теореме Кука, ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что [math] P \subset PSIZE [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math] PSIZE \subset P/poly[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] L \in PSIZE [/math], x — входная строка. Тогда для L существуют логические схемы [math] C_0, C_1, .., C_n, .. [/math]. В качестве подсказки для x предоставим логическую схему [math] C_{|x|} [/math]. Программа p получает на вход x и [math] C_{|x|} [/math] и возвращает значение, вычисляемое [math] C_{|x|} [/math] для входа x. Запишем программу 

[math] p(x, C_{|x|}) [/math]:
    return [math]C_{|x|}(x) [/math]
Логическая схема [math] C_{|x|} [/math] имеет полиномиальный размер. Оба условия для [math] P/poly [/math] выполнены, [math] PSIZE \subset P/poly[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math] P/poly \subset PSIZE[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math] L \in P/poly [/math], x — входная строка. Тогда для L существуют подсказки [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math]. Программа p по входу x и подсказке [math] a_{|x|} [/math] определяет принадлежность x языку L. Зафиксируем длину входной строки x как n. Запишем p в виде логической схемы [math] C_m [/math] ( [math] m = n + |a_n| [/math]), которая принимает на вход слова длины n и подсказку [math] a_n [/math]. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему [math] C_n [/math] полиномиального размера, принимающую слова длины n и определяющую их принадлежность языку L. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, [math] P/poly \subset PSIZE [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Схемная_сложность_и_класс_P/poly&oldid=22785»