Сложностные классы. Вычисления с оракулом

В начале 1960-х годов, в связи с началом широкого использования вычислительной техники для решения практических задач, возник вопрос о границах практической применимости данного алгоритма решения задачи в смысле ограничений на её размерность. Какие задачи могут быть решены на ЭВМ за реальное время?

Ответ на этот вопрос был дан в работах Кобхэма (Alan Cobham, 1964) и Эдмондса (Jack Edmonds, 1965), где были введены сложностные классы задач. К ним относятся классы P, NP и т.д.

Определение:

[math]\mathrm{T(p,x)}[/math] — ограничение по времени. [math]\mathrm{S(p,x)}[/math] — ограничение по памяти. [math]\mathrm{TS(p,x)}[/math] — ограничение и по времени и по памяти.

Введём понятия [math]\mathrm{DTIME}[/math] и [math]\mathrm{DSPACE}[/math], аналогичным образом определяются классы [math]\mathrm{NSPACE}[/math] и [math]\mathrm{NTIME}[/math] (префикс [math]\mathrm{D}[/math] соответствует детерминизму, а [math]\mathrm{N}[/math] — недетерминизму).

Определение:

[math]\mathrm{DTIME(f(n))} = \{ L \mid \exists [/math] программа [math]p : L(p)=L[/math] и для [math]\forall x[/math], такого что [math]|x| = n[/math] (здесь [math]n[/math] — длина входа), [math]\mathrm{T(p,x)} = O(f(n)) \}[/math].

Определение:

[math]\mathrm{DSPACE(f(n))} = \{ L \mid \exists [/math] программа [math]p : L(p)=L[/math] и для [math]\forall x[/math], такого что [math]|x| = n[/math] (здесь [math]n[/math] — длина входа), [math]\mathrm{S(p,x)} = O(f(n)) \}[/math].

Через понятия классов [math]\mathrm{DSPACE}[/math], [math]\mathrm{DTIME}[/math], [math]\mathrm{NSPACE}[/math] и [math]\mathrm{NTIME}[/math] будет дано определение многим сложностным классам, в том числе классов P и NP.

Вычисление с оракулом

Определение:

Оракул — программа [math]A(x)[/math], вычисляющая за [math]O(1)[/math] времени, верно ли, что [math]x \in A[/math].

Сложностный класс задач, решаемых алгоритмом из класса [math]C[/math] с оракулом для языка [math]A[/math], обозначают [math]C^A[/math]. Так же [math]C[/math] называют сложностным классом с доступом к оракулу [math]A[/math]. Если [math]A[/math] — множество языков, то [math]C^A =\bigcup\limits_{D \in A}C^D[/math], где [math]D[/math] — язык из [math]A[/math].