Обобщенный квадратичный закон взаимности

Эта статья находится в разработке!

Квадратичный закон взаимности для символа Лежандра обобщается на символ Якоби следующим уравнением:

Теорема (Обобщенный квадратичный закон взаимности):

для любых нечетных [math]n[/math] и [math]m[/math] справедливо: [math]\left(\cfrac{m}{n}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разложим [math]n[/math] и [math]m[/math] на простые числа [math]n=p_1\times\cdots\times p_s\\m=q_1\times\cdots\times q_r[/math] Получаем [math]\left(\cfrac{m}{n}\right)=\prod^s_{i=1}\left(\cfrac{m}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{q_j}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}(-1)^{\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\sum^r_{j=1}\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\sum^r_{j=1}\frac{q_j-1}{2}\right)}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\frac{m-1}{2}\right)}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{n}{q_j}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)[/math]

[math]\triangleleft[/math]