Изменения

|about=О экспандерах

|statement=Существует <tex>d_0 \in \mathbb{N}</tex> и <tex>h_0 >0</tex> такие, что есть построимое за полиномиальное время семейство <tex>\lbrace X_n\rbrace_{n \in \mathbb{N}}</tex> <tex>d_0</tex>-регулярных графов <tex>X_n</tex> с <tex>n</tex> вершинами таких, что <tex>h(X_n) \ge h_0</tex>.

}}

{{Лемма

|statement=Пусть <tex>G</tex> <tex>d</tex>-регулярный граф со вторым по величине собственным числом <tex>\lambda</tex>. Пусть <tex>F \subseteq E</tex> множество ребер. Вероятность <tex>p</tex> того, что случайный путь, начинающийся со случайного ребра из <tex>F</tex> на <tex>i+1</tex> шаге попадет <tex>F</tex> ограничена <tex>\frac {|F|} {|E|} + \left({\frac {|\lambda|} d}\right)^i</tex>.

}}

{{Утверждение

|statement= Для любой неотрицательной случайной величины <tex>X</tex>, <tex>Pr[X>0] \ge \mathbb{E}[X^2] / \mathbb{E}[X]</tex>

}}

|about=Константная степень

|statement=Любой граф условий <tex>G = \langle (V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> может быть преобразован в <tex>(d_0 + 1)</tex>-регулярный граф условий <tex>G'=\langle (V',E'),\Sigma,\mathcal{C}'\rangle</tex> такой, что <tex>|V'|</tex>=2|E|</tex> и <tex>c \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>. Для некоторых заданных констант <tex>d_0,c>0</tex>

}}

* <tex>size(G')=O(size(G))</tex>

* <tex> \frac d {d + d_0 + 1} \cdot UNSAT(G) \le UNSAT(G') \le UNSAT(G)</tex>

}}

|about=Усиление

|statement= Пусть <tex>\lambda < d</tex> и <tex>|\Sigma|</tex> произвольные константы. Тогда существует константа <tex>\beta_2=\beta_2(\lambda,d,|\Sigma|)>0</rex> такая, что для любого <tex>t \in \mathbb N</tex> и для любого <tex>d</tex>-регулярного графа условий <tex>G=\langle(V,E),\Sigma,\mathcal{C}\rangle</tex> с собственными циклами и <tex>\lambda(G)\le \lambda</tex>,<br/><tex>UNSAT(G^t) \ge \beta_2 \sqrt{t} \cdot min \left({UNSAT(G), \frac 1 t}\right)</tex>.

}}