===Определения===<math>BPP = \{L |{ В разработке}\exist m: T(m,x) = Poly(|x|) \and P(m(x) = [x \in L]) > 2/3\}</math><br>где <math>m</math> -- [[Вероятностная машина Тьюринга|вероятностная машина Тьюринга]].<br>Существуют альтернативные определения класса <math>BPP</math>:<br>*<math>BPP_{weak} = \{L |{ }\exist m: T(m,x) = Poly(|x|) \and P(m(x) = [x \in L]) > 1/2 + 1/p(|x|)\}</math><br>где <math>m</math> -- [[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]], а <math>~p(|x|): \forall x: p(|x|) > 2</math> -- полином.*<math>BPP_{strong} = \{L |{ }\exist m: T(m,x) = Poly(|x|) \and P(m(x) = [x \in L]) > 1 - 2^{-p(|x|)}\}</math><br>где <math>m</math> -- [[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]], а <math>~p(|x|)</math> -- полином.
===Эквивалентность определений===Требуется доказать, что <math>~BPP_{strong} = BPP= BPP_{weak}</math>.<br>Для доказательства обоих равенств потребуется неравенство Чернова:<br><center><math>\forall p > 1/2:~ \sum_{\mathcal{b}\frac{n}{2}\mathcal{c}+1}^{n}[{{{n\choose i}} p^{i}(1-p)^{n-i}] \geq 1 - e^{-2n(p-1/2)^2}}</math></center> ====Доказательство <math>~BPP_{strong} = BPP</math>====Очевидно, что <math>~BPP_{strong} \subset BPP</math>.<br>Докажем обратное включение. Пусть <math>L \in BPP</math>, тогда существует[[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]] <math>m_{1}: T(m_{1},x) = Poly(|x|) \and P(m_{1}(x) = [x \in L]) > 2/3</math>. Построим [[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]] <math>m_{2}: T(m_{2},x) = Poly(|x|) \and P(m_{2}(x) = [x \in L]) >1 - 2^{-p(|x|)}</math>,используя заданные <math>m_{1}</math> и <math>~p(|x|)</math>. Если нам это удастся, то <math>L \in BPP_{strong} \Rightarrow BPP \in BPP_{strong} \Rightarrow ~BPP_{strong} = BPP</math>.=====Построение <math>~m_{2}</math>=====Машина <math>m_{2}</math> Здесь будет работать таким образом:запустим <math>~N_{str}(p(|x|),m_{1})</math> раз машину <math>m_{1}</math>, запоминая результат каждого запуска.Вернем <math>1</math>, если больше половины запусков вернули <math>1</math>. Иначе вернем <math>0</math>.Если <math>N_{str}</math> таково, что <math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) >1 - 2^{-p(|x|)} \and N_{str} \in poly(|x|)</math>, то искомая машина построена.======Построение <math>~N_{str}(p|x|,m_{1})</math>======При запуске машины <math>m_{2}</math> все запуски <math>m_{1}</math> можно считать независимыми, причем каждый запуск<math>m_{1}</math> возвращает правильный ответ с вероятностью <math>p \geq 2/3 > 1/2</math>. Тогда по схеме Бернулли вероятность того, что больше половины запусков вернули правильный ответ, т.е <math>P(m_{2}(x) = [x \in L])</math>:<br><math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) = \sum_{\mathcal{b}\frac{N_{str}}{2}\mathcal{c}+1}^{N_{str}}[{N_{str}\choose i} p^{i}(1-p)^{N_{str}-i}]</math>. Тогда, по неравенству Чернова: <math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) \geq 1 - e^{-2N_{str}(p-1/2)^2}</math>. Достаточно подобрать такое <math>N_{str}</math>, чтобы <math>1 - e^{-2N_{str}(p-1/2)^2} \geq 1 - 2^{-p(|x|)}</math>. Несложными преобразованиями получаем <math>N_{str} \geq \frac{p(|x|) \ln 2}{2(p-1/2)^2}</math>, т.е. можем выбрать <math>N_{str} \in poly(|x|)</math> ====Доказательство <math>~BPP_{weak} = BPP</math>====Очевидно, что <math>~BPP \subset BPP_{weak}</math>.<br>Докажем обратное включение. Пусть <math>L \in BPP_{weak}</math>, тогда существует[[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]] <math>m_{1}: T(m_{1},x) = Poly(|x|) \and P(m_{1}(x) = [x \in L]) > 1/2 + 1/p(|x|)</math>. Построим [[Вероятностная машина Тьюринга|ВМТ]] <math>m_{2}: T(m_{2},x) = Poly(|x|) \and P(m_{2}(x) = [x \in L]) >2/3</math>,используя заданные <math>m_{1}</math> и <math>~p(|x|)</math>. Если нам это удастся, то <math>L \in BPP \Rightarrow BPP_{weak} \in BPP \Rightarrow ~BPP_{weak} = BPP</math>.=====Построение <math>~m_{2}</math>=====Машина <math>m_{2}</math> будет работать таким образом:запустим <math>~N_{str}(p(|x|),m_{1})</math> раз машину <math>m_{1}</math>, запоминая результат каждого запуска.Вернем <math>1</math>, если больше половины запусков вернули <math>1</math>. Иначе вернем <math>0</math>.Если <math>N_{weak}</math> таково, что <math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) > 2/3) \and N_{weak} \in poly(|x|)</math>, то искомая машина построена.======Построение <math>~N_{weak}(p|x|,m_{1})</math>======При запуске машины <math>m_{2}</math> все запуски <math>m_{1}</math> можно считать независимыми, причем каждый запуск<math>m_{1}</math> возвращает правильный ответ с вероятностью <math>p = 1/2 + 1/p(|x|) > 1/2</math>. Тогда по схеме Бернулли вероятность того, что больше половины запусков вернули правильный ответ, т.е <math>P(m_{2}(x) = [x \in L])</math>:<br><math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) = \sum_{\mathcal{b}\frac{N_{weak}}{2}\mathcal{c}+1}^{N_{weak}}[{N_{weak}\choose i} p^{i}(1-p)^{N_{weak}-i}]</math>. Тогда, по неравенству Чернова: <math>P(m_{2}(x) = [x \in L]) \geq 1 - e^{-2N_{weak}(p-1/2)^2}</math>. Достаточно подобрать такое <math>N_{weak}</math>, чтобы <math>1 - e^{-2N_{weak}(p-1/2)^2} \geq 2/3</math>. Несложными преобразованиями получаем <math>N_{weak} \geq \frac{\ln 3}{2(1/2 +1/p(|x|)-1/2)^2} = \frac{p(|x|)^2 \ln 3}{2}</math>, т.е. можем выбрать <math>N_{weak} \in poly(|x|)</math>статья.
