Изменения

<tex>P\mathrm{PSIZE} </polytex> {{---}} класс языков, разрешимых семейством [[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|логических схем]] <tex> \{C_n\}_{n>0} </tex> полиномиального размера с n входами и одним выходом. <tex> \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n </tex> существует логическая <tex> \exists C_n </tex>: #<tex> |C_n| \leqslant p(n)</tex>, где <tex> p </tex> {{---}} полином;#Число входов в схеме <tex> C_n </tex> равно <tex> n </tex>;#Каждая схема <tex> C_n </tex> с имеет один выход;#<tex>x \in L \Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}</tex>. }}  {{Определение|definition=Пусть <tex> \mathrm{C} </tex> {{---}} сложностный класс, <tex> f </tex> {{---}} функция. Тогда <tex> \mathrm{C}/f = \{L \bigm| </tex> существуют подсказки <tex> n a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots </tex> входами и одним выходом такаяпрограмма <tex> p </tex>, чтоудовлетворяющая ограничениям <tex> \mathrm{C} </tex>: #размеры <tex> C_n |a_i| \leqslant pf(ni)</tex>;#<tex>x \in L \iff C_Leftrightarrow p(x, a_{|x|}(x) = 1 \}</tex>.

<tex> \mathrm{P/poly} = \bigcup\limits_{p \in poly} \mathrm{P}/p </tex>. }} == Теоремы == {{Теорема|statement=<tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.|proof=Пусть C <tex> L \in \mathrm{P} </tex>. Тогда существует машина Тьюринга <tex> M </tex>, распознающая язык <tex> L </tex>. Составим логическую схему для <tex> M </tex>, как мы сделали в [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|теореме Кука]], ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что <tex> \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.}} {{Теорема|statement=<tex> \mathrm{PSIZE} = \mathrm{P/poly} </tex>.|proof=Докажем, что <tex> \mathrm{---PSIZE} \subset \mathrm{P/poly}</tex>. <br>Пусть <tex> L \in \mathrm{PSIZE} сложностный класс</tex>, f <tex> x </tex> {{---}} функциявходная строка. Тогда для <tex> C/f = \{L| </tex> существуют логические схемы <tex> a_0C_0, a_1C_1, .. , a_nC_n, .. </tex>. В качестве подсказки для <tex> x </tex> предоставим логическую схему <tex> C_{|x|} </tex>. Программа <tex> p </tex> получает на вход <tex> x </tex> и <tex> C_{|x|} </tex> и возвращает значение, вычисляемое <tex> C_{|x|} </tex> программа для входа <tex> x </tex>. Запишем программу <tex> p(x, удовлетворяющая ограничениям CC_{|x|}) </tex>:# '''return''' <tex>C_{|a_ix| \leqslant f}(ix) </tex>;#Логическая схема <tex> C_{|x |} </tex> имеет полиномиальный размер. Оба условия для <tex> \mathrm{P/poly} </tex> выполнены, <tex> \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} </tex>. <br><br>Докажем, что <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>. <br>Пусть <tex> L \in \mathrm{P/poly} </tex>, <tex> x </tex> {{---}} входная строка. Тогда для <tex> L \iff </tex> существуют подсказки <tex> a_0, a_1, .. , a_n, .. </tex>. Программа <tex> p(</tex> по входу <tex> x, </tex> и подсказке <tex> a_{|x|}</tex> определяет принадлежность <tex> x </tex> языку <tex> L </tex>. Зафиксируем длину входной строки <tex> x </tex> как <tex> n </tex>. Теперь запишем <tex> p </tex> в виде логической схемы <tex> C_m </tex> ( <tex> m = n + |a_n| </tex>), которая принимает на вход слова длины <tex> n </tex> и подсказку <tex> a_n </tex>. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему <tex> C_n </tex> полиномиального размера, принимающую слова длины <tex> n </tex> и определяющую их принадлежность языку <tex> L </tex>. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, <tex> \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} </tex>.}} {{Лемма|statement=Любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>.|proof=Рассмотрим произвольный унарный язык <tex> L \subset \{1 \}^* </tex>. Подсказкой для слова <tex> x </tex> будет единица, если слово длины <tex> |x| </tex> есть в <tex> L </tex>, иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово <tex> x </tex> и подсказку для слов длины <tex> |x| </tex>. Теперь произведем проверку, что <tex> x </tex> действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. <br>Таким образом, любой унарный язык принадлежит <tex> \mathrm{P/poly} </tex>. }} {{Лемма|statement=<tex> \mathrm{P/poly} </tex> содержит неразрешимые языки.|proof=Рассмотрим произвольный неразрешимый язык <tex> L \subset \{0, 1\}^* </tex>. Построим язык <tex> A </tex> следующим образом: <tex> A = \{ 1^n | </tex> бинарное представление <tex> n </tex> принадлежит <tex> L \} </tex>. Унарный язык <tex> A \in \mathrm{P/poly} </tex>, но то же время <tex> A </tex> неразрешим, иначе можно было бы разрешить <tex> L </tex>. <br>Получается, что <tex> \mathrm{P/poly} </tex>содержит неразрешимые языки.