Схемная сложность и класс P/poly

Определения

Определение:

[math] \mathrm{PSIZE} [/math] — класс языков, разрешимых семейством логических схем [math] \{C_n\}_{n\gt 0} [/math] полиномиального размера с n входами и одним выходом. [math] \mathrm{PSIZE} =\{L \bigm| \forall n [/math] [math] \exists C_n [/math]: [math] |C_n| \leqslant p(n)[/math], где [math] p [/math] — полином; Число входов в схеме [math] C_n [/math] равно [math] n [/math]; Каждая схема [math] C_n [/math] имеет один выход; [math]x \in L \Leftrightarrow C_{|x|}(x) = 1 \}[/math].

Определение:

Пусть [math] \mathrm{C} [/math] — сложностный класс, [math] f [/math] — функция. Тогда [math] \mathrm{C}/f = \{L \bigm| [/math] существуют подсказки [math] a_0, a_1, \ldots , a_n, \ldots [/math] и программа [math] p [/math], удовлетворяющая ограничениям [math] \mathrm{C} [/math]: [math]|a_i| \leqslant f(i) [/math]; [math] x \in L \Leftrightarrow p(x, a_{|x|})=1 \}[/math].

Определение:

[math] \mathrm{P/poly} = \bigcup\limits_{p \in poly} \mathrm{P}/p [/math].

Теоремы

Теорема:

[math] \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] L \in \mathrm{P} [/math]. Тогда существует машина Тьюринга [math] M [/math], распознающая язык [math] L [/math]. Составим логическую схему для [math] M [/math], как мы сделали в теореме Кука, ее размеры ограничены полиномом, она допускает только слова из языка. Отсюда следует, что [math] \mathrm{P} \subset \mathrm{PSIZE} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math] \mathrm{PSIZE} = \mathrm{P/poly} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что [math] \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} [/math]. Пусть [math] L \in \mathrm{PSIZE} [/math], [math] x [/math] — входная строка. Тогда для [math] L [/math] существуют логические схемы [math] C_0, C_1, .., C_n, .. [/math]. В качестве подсказки для [math] x [/math] предоставим логическую схему [math] C_{|x|} [/math]. Программа [math] p [/math] получает на вход [math] x [/math] и [math] C_{|x|} [/math] и возвращает значение, вычисляемое [math] C_{|x|} [/math] для входа [math] x [/math]. Запишем программу [math] p(x, C_{|x|}) [/math]: return [math]C_{|x|}(x) [/math] Логическая схема [math] C_{|x|} [/math] имеет полиномиальный размер. Оба условия для [math] \mathrm{P/poly} [/math] выполнены, [math] \mathrm{PSIZE} \subset \mathrm{P/poly} [/math]. Докажем, что [math] \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} [/math]. Пусть [math] L \in \mathrm{P/poly} [/math], [math] x [/math] — входная строка. Тогда для [math] L [/math] существуют подсказки [math] a_0, a_1, .. , a_n, .. [/math]. Программа [math] p [/math] по входу [math] x [/math] и подсказке [math] a_{|x|} [/math] определяет принадлежность [math] x [/math] языку [math] L [/math]. Зафиксируем длину входной строки [math] x [/math] как [math] n [/math]. Теперь запишем [math] p [/math] в виде логической схемы [math] C_m [/math] ( [math] m = n + |a_n| [/math]), которая принимает на вход слова длины [math] n [/math] и подсказку [math] a_n [/math]. Полученная схема будет полиномиального размера. Зашьем подсказку в самой схеме, то есть впишем в нее значения битов подсказки. Получим схему [math] C_n [/math] полиномиального размера, принимающую слова длины [math] n [/math] и определяющую их принадлежность языку [math] L [/math]. Такие схемы можно получить для любой длины входа. Значит, [math] \mathrm{P/poly} \subset \mathrm{PSIZE} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Любой унарный язык принадлежит [math] \mathrm{P/poly} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный унарный язык [math] L \subset \{1\}^* [/math]. Подсказкой для слова [math] x [/math] будет единица, если слово длины [math] |x| [/math] есть в [math] L [/math], иначе ноль. Машина Тьюринга получит на вход слово [math] x [/math] и подсказку для слов длины [math] |x| [/math]. Теперь произведем проверку, что [math] x [/math] действительно из нашего унарного алфавита. Если это не так, то сразу же не допустим слово, иначе выведем значение подсказки. Таким образом, любой унарный язык принадлежит [math] \mathrm{P/poly} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math] \mathrm{P/poly} [/math] содержит неразрешимые языки.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный неразрешимый язык [math] L \subset \{0, 1\}^* [/math]. Построим язык [math] A [/math] следующим образом: [math] A = \{ 1^n | [/math] бинарное представление [math] n [/math] принадлежит [math] L \} [/math]. Унарный язык [math] A \in \mathrm{P/poly} [/math], но то же время [math] A [/math] неразрешим, иначе можно было бы разрешить [math] L [/math]. Получается, что [math] \mathrm{P/poly} [/math] содержит неразрешимые языки.

[math]\triangleleft[/math]