(b) В расширенной сети существует поток от s до t со значением <tex>\sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>
|proof=<tex>(b) \Rightarrow (a)</tex>:Consider a flow with value <tex>\sum\limits_{i = 1}^n {p_i}</tex> in the expanded network. Denote by <tex>x_{iK}</tex> the total flow which goes from <tex>J_i</tex> to <tex>I_K</tex>. Then <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{K = 2}^r x_{iK} = \sum\limits_{i = 1}^n p_i</tex>. It is sufficient to show that for each subset <tex>A \subseteq \{ 1Равшана переводить, . . . , n \}</tex> we have <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \le T_Kh(A)</tex>.не мешать
This means that condition (b) \Rightarrow (a)</tex>:Рассмотрим в расширенной сети поток величиной <tex>\sum\limits_{i = 1}^n {p_i}</tex>. Обозначим через <tex>x_{iK}</tex> общий поток, который идет от <tex>J_i</tex> до <tex>I_K</tex>. Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{K = 2}^r x_{iK} = \sum\limits_{i = 1}^n p_i</tex>. Достаточно показать, что для каждого подмножества <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex> выполняется <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \le T_Kh(A)</tex>. Это означает, что условие (5.8) holds and the processing requirements {{TODO| t=запились}} выполняется и требования к обработке <tex>x_{1K}, . . . , x_{nK}</tex> can be scheduled in могут быть запланированы как <tex>I_K</tex> for для <tex>K = 2, . . . , r</tex>. Consider in the expanded network the subnetwork induced by Рассмотрим подсеть в расширенной сети индуцированной <tex>A</tex> and the corresponding partial flowи соответствующие части потока. The portion of this partial flow which goes through Часть этой части потока, который проходит через <tex>(K, j)</tex> is bounded byограниченна
<tex>\min \{ j(s_j − s_{j + 1})T_K, |A|(s_j − s_{j+1})T_K \} = T_K(s_j − s_{j+1}) \min \{ j, |A| \}</tex>.
ThusТаким образом, we haveмы имеем
<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \ge T_K \sum\limits_{j = 1}^m(s_j − s_{j+1}) \min \{ j, |A| \} = T_Kh(A)</tex>. (5.9)
That the equality in То, что равенство (5.9) holds справедливо, can be seen as follows. If Если <tex>|A| > m</tex>, we haveто
<tex>\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j + 1}) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - 3s_4 + ... + ms_s - ms_{m+1} =\ </tex>
<tex>S_m = h(A)</tex>.
OtherwiseВ противном случае
<tex>\sum\limits_{j = 1} \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j + 1}) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - ... + (|A| - 1)s_{|A| - 1} -\ </tex>
<tex>(a) \Rightarrow (b)</tex>:
Assume that a feasible schedule existsПредположим, что допустимое расписание существует. For Для <tex>i = 1, ... , n </tex> and и <tex>K = 2, ..., r</tex> let пусть <tex>x_{iK}</tex> be the “amount of work” to be performed on job является "объемом работ", который будет выполняться на работу <tex>i</tex> in the interval в интервале <tex>I_K</tex> according to this feasible scheduleв соответствии с возможным расписанием. Then for all Тогда для всех <tex>K = 2, ..., r</tex> and arbitrary sets и произвольных наборов <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex>, the inequalityнеравенство
<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \le T_Kh(A)</tex> (5.10)
holdsвыполняется. FurthermoreКроме того, for для <tex>i = 1, . . . , n</tex> we have у нас <tex>p_i = \sum\limits_{K = 2}^r s_{iK}</tex>. It remains to show that it is possible to send Остается показать, что можно отправить <tex>x_{iK}</tex> units of flow from единиц потока от <tex>J_i</tex> to до <tex>I_K</tex> <tex>(i = 1, . . . , n; K = 2, . . . , r)</tex> in the expanded networkв расширенной сети. A sufficient condition for the existence of such a flow is that for arbitrary Такой поток существует, если для любого <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex> and и <tex>K = 2, . . . , r</tex> the value значение <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK}</tex> is bounded by the value of a minimum cut in the partial network with sources ограничено величиной минимального среза части сети с истоками <tex>J_i(i \in A)</tex> and sink и стоком <tex>I_K</tex>. HoweverТем не менее, this value isэто значение
<tex>T_K\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j+1})</tex>
Using Используя (5.10) and the right-hand side of и правую часть (5.9), we getполучаем
<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \le T_K h(A) = T_K \sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j+1})</tex>
which is the desired inequalityчто и является искомым неравенством.
}}
[[Файл:Figure_5.9.b.png|500px|thumb|right|Рис. 2.2 - Расширение сети]]
