Определение ряда Фурье

L_p

Определение:

[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math]. То есть, [math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].

Определение:

Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].

Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].

Утверждение:

При [math] n \ne m [/math] : [math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math], [math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].

[math]\triangleright[/math]

Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: [math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math]. Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то [math] f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].