Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

• число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
• [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
• [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].

Теорема (Лагранж):

Число[math]\alpha[/math] представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] [math]\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle[/math], тогда введём [math]\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle[/math]. Тогда [math]\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle[/math]. [math]\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0[/math]

[math]\triangleleft[/math]