Поиск k-ой порядковой статистики за линейное время

Определение:

[math]k[/math]-ой порядковой статистикой набора элементов линейно упорядоченного множества называется такой его элемент, который является [math]k[/math]-ым элементом набора в порядке сортировки

Историческая справка

Алгоритм Блюма-Флойда-Пратта-Ривеста-Тарьяна (BFPRT-алгоритм) создан Мануэлем Блюмом (Manuel Blum), Робертом Флойдом (Robert Floyd), Воганом Рональдом Праттом (Vaughan Ronald Pratt), Роном Ривестом (Ron Rivest) и Робертом Тарьяном (Robert Tarjan) в 1973 году.

Идея алгоритма

Этот алгоритм почти ни чем не отличается от алгоритма поиска k-ой порядковой статистики, но имеет важное отличие в том, что время работы алгоритма в наихудшем случае равно [math]O(n)[/math], что будет доказано ниже. Главная идея алгоритма заключается в том, чтобы гарантировать хорошее разбиение массива. Алгоритм выбирает такой рассекающий элемент, что количество чисел, которые меньше рассекающего элемента, не менее [math]\frac{3n}{10}[/math]. Элементов больших опорного элемента, также не менее [math]\frac{3n}{10}[/math], где [math]n[/math] количество элементов в массиве. Благодаря этому алгоритм работает за линейной время в любом случае.

Описание алгоритма

1. Все [math]n[/math] элементов входного массива разбиваются на группы по пять элементов, в последней группе будет [math]n[/math] [math]\bmod[/math] [math] 5[/math] элементов. Эта группа может оказаться пустой при [math]n[/math] кратных [math]5[/math].
2. Сначала сортируется каждая группа, затем выбираем медиану в каждой из этих групп.
3. Путем рекурсивного вызова шага 1 определяется медиана [math]x[/math] из множества медиан, найденных на втором шаге. Где [math]x[/math] — рассекающий элемент, [math]i[/math] — индекс рассекающего элемента. Если медиан окажется четное количество, то на место рассекающего элемента будут претендовать две медианы, переменной [math]x[/math] будет присвоено значение большей из этих двух медиан.
4. Делим массив относительно рассекающего элемента [math]x[/math]. Все элементы меньшие [math]x[/math] будут находиться левее [math]x[/math] в массиве и будут иметь меньший индекс и наоборот, если элементы больше [math]x[/math].
5. Если [math]i[/math] [math]=[/math] [math]k[/math], то возвращается значение [math]x[/math]. Иначе вызывается рекурсивно шаг 1, и выполняется поиск [math]k[/math]-го в порядке возрастания элемента в левой части массива,если [math]i[/math] [math]\lt [/math] [math]k[/math], или в правой части, если [math]i[/math] [math]\gt [/math] [math]k[/math].

Пример работы алгоритма

Мы разберем в данном данном случае, поиск рассекающего элемента. Рассмотрим работу алгоритма на массиве из [math] 25 [/math] элементов, обозначенных кружками.

На вход подается массив, разобьем элементы на группы по 5 элементов. Отсортируем элементы каждой группы и выберем медианы. Полученные медианы групп отмечены белыми кружками.

Рекурсивно вызовемся от медиан групп и получим рассекающий элемент. На рисунке он обозначен белым кружком, внутри которого изображен символ [math] x [/math].

Проведем анализ рассекающего элемента. На рисунке обозначены закрашенные области, в левом верхнем и в правом нижнем углах. В эти области попали все элементы, которые точно меньше или больше рассекающего элемента, соответственно. В каждой области по [math] 8 [/math] элементов, всего же в массиве [math] 25 [/math], то есть мы получили хорошее (то есть соответствующее нашему утверждению) разбиение массива относительно опорного элемента, так как [math] 8 \gt [/math] [math]\frac{3 \cdot 25}{10}[/math]. Теперь докажем, что алгоритм также хорошо выбирает опорный элемент и в общем случае. Доказательство представлено ниже.

Анализ времени работы алгоритма

Чтобы проанализировать время работы алгоритма, сначала определим нижнюю границу для количества элементов, превышающих по величине рассекающий элемент [math]x[/math]. В общем случае как минимум половина медиан, найденных на втором шаге, больше или равны медианы медиан [math]x[/math]. Таким образом, как минимум [math]n[/math] [math]/[/math] [math]10[/math] групп содержат по [math]3[/math] превышающих величину [math]x[/math], за исключение группы, в которой меньше [math]5[/math] элементов и ещё одной группы, содержащей сам элемент [math]x[/math]. Таким образом получаем, что количество элементов больших элемента [math]x[/math], не менее [math]\frac{3n}{10}[/math], где [math]n[/math] это количество элементов в массиве. Проведя аналогичные рассуждения для элементов, которые меньше по величине, чем рассекающий элемент [math]x[/math], мы получим, что как минимум [math]\frac{3n}{10}[/math] меньше, чем элемент [math]x[/math]. Теперь проведем анализ времени работы алгоритма.

Пусть [math]T(n)[/math] — время работы алгоритма для [math]n[/math] элементов, тогда оно не больше, чем сумма:

1. времени работы на сортировку групп и разбиение по рассекающему элементу, то есть [math]Cn[/math];
2. времени работы для поиска медианы медиан, то есть [math]T(\frac{n}{5})[/math];
3. времени работы для поиска [math]k[/math]-го элемента в одной из двух частей массива, то есть [math]T(s)[/math], где [math]s[/math] — количество элементов в этой части. Но [math]s[/math] не превосходит [math]\frac{7n}{10}[/math], так как чисел, меньших рассекающего элемента, не менее [math]\frac{3n}{10}[/math] — это [math]\frac{n}{10}[/math] медиан, меньших медианы медиан, плюс не менее [math]\frac{2n}{10}[/math] элементов, меньших этих медиан. С другой стороны, чисел, больших рассекающего элемента, так же не менее [math]\frac{3n}{10}[/math], следовательно [math] s \le \frac{7n}{10}[/math], то есть в худшем случае [math] s = \frac{7n}{10}[/math].

Тогда получаем, что [math]T(n) \le T(\frac{n}{5}) + T(\frac{7n}{10}) + Cn [/math]

Покажем, что для всех [math] n [/math] выполняется неравенство [math]T(n) \le 10Cn [/math].

Докажем по индукции:

1. Предположим, что наше неравенство [math]T(n) \le 10Cn [/math] выполняется при малых [math] n [/math], для некоторой достаточно большой константы [math] C [/math].
2. Тогда, по предположению индукции, [math]T(\frac{n}{5}) \le 10C\frac{n}{5} = 2Cn[/math] и [math] T(\frac{7n}{10}) \le 10C\frac{7n}{10} = 7Cn[/math], тогда

[math]T(n) \le T(\frac{n}{5}) + T(\frac{7n}{10}) + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \le 10Cn[/math]

Так как [math]T(n) \le 10Cn [/math], то время работы алгоритма [math]O(n)[/math]

Литература

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ

Ссылки

• Selection algorithm — Wikipedia