Эволюционные алгоритмы поиска эйлерова цикла в графе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Фитнес функция)
Строка 19: Строка 19:
 
==== Фитнес функция ====
 
==== Фитнес функция ====
 
Фитнес функция для эволюционные алгоритмы поиска эйлерова цикла в графе выглядит так: <tex>f(M) = m - |M| + k</tex>, где
 
Фитнес функция для эволюционные алгоритмы поиска эйлерова цикла в графе выглядит так: <tex>f(M) = m - |M| + k</tex>, где
<tex>m</tex> — количество ребер в графе;
+
#<tex>m</tex> — количество ребер в графе;
<tex>|M|</tex> — размер множества <tex>M</tex>;
+
#<tex>|M|</tex> — размер множества <tex>M</tex>;
<tex>k</tex> — количество путей в <tex>M</tex>
+
#<tex>k</tex> — количество путей в <tex>M</tex>
 
 
 
==== Операция мутации ====
 
==== Операция мутации ====
 +
Операция мутации вводится для двух вершин <tex>u</tex> и <tex>w</tex> из <tex>L_v</tex>. Как их выбрать описано в следующем разделе. Происходит он так:
 +
* если <tex>u=w</tex>, то ничего не делаем;
 +
* если для <tex>u</tex> и для <tex>w</tex> нет пары, то добавляем к <tex>M_v</tex> пару <tex>(u,w)</tex>;
 +
* если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> уже содержатся в <tex>M_v</tex> как пара, то удалим ее;
 +
* если <tex>u</tex> в паре с некоторой если вершиной <tex>p</tex, а <tex>w</tex> без пары, то удалим <tex>(u,p)</tex> из <tex>M_v</tex> и добавим <tex>(u,w)</tex>;
 +
* если <tex>w</tex> в паре с некоторой если вершиной <tex>p</tex, а <tex>u</tex> без пары, то удалим <tex>(w,p)</tex> из <tex>M_v</tex> и добавим <tex>(u,w)</tex>;
 +
* если <tex>u</tex> в паре с некоторой если вершиной <tex>p</tex, а <tex>w</tex> в паре с некоторой <tex>k</tex>, то удалим <tex>(u,p)</tex> и <tex>(w,k)</tex> из если <tex>M_v</tex> и добавим <tex>(u,w)</tex> и <tex>(p,k)</tex>;
 +
Если после операции мутации фитнес функция уменьшилась, то операцию не применяют.
 
==== Выбор вершин для мутации ====
 
==== Выбор вершин для мутации ====
 
===Литература===
 
===Литература===
 
* [http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/p1203-doerr.pdf  Doerr B., Johannsen D. Adjacency List Matchings - An Ideal Genotype for Cycle Covers]
 
* [http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/p1203-doerr.pdf  Doerr B., Johannsen D. Adjacency List Matchings - An Ideal Genotype for Cycle Covers]

Версия 21:53, 17 июня 2012

Постановка задачи

Определение:
Эйлеров цикл в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно по одному разу.

Задача — для заданного графа найти такой путь. Заметим, что это возможно тогда и только тогда, когда граф связный и степень каждой его вершины четна.

Предыдущие результаты

Перестановка ребер

Пусть для графа [math]G[/math] задан набор всех его ребер [math](e_1, e_2, \dots e_m)[/math]. На каждом шаге два случайно выбранных ребра меняются местами. Фитнес функция — длина максимального пути в множестве ребер. Алгорим работает за экспоненциальное от количества ребер время.

Jump-оператор

Jump-оператор работает следующим образом. Для набора ребер [math](e_1, e_2, \dots e_m)[/math] оператор [math]jump(i,j)[/math] передвигает [math]i[/math]-й элемент на позицию [math]j[/math] и циклически сдвигает ребра между позициями [math]i[/math] и [math]j[/math] влево (если [math]i \gt j[/math] то вправо) . Таким образом набор [math](e_1, e_2, \dots e_m)[/math] превратиться в [math](e_1, e_2, \dots e_{i-1}, e_{i+1}, \dots e_j, e_i, e_{j+1}, \dots e_m)[/math]. Работает за [math]O(m^5)[/math], где [math]m[/math] — количество ребер в графе.

Улучшенный jump-оператор

Лучших результатов можно достичь, если использовать только операции вида [math]jump(i, 1)[/math]. Тогда время работы будет [math]O(m^5)[/math].

Алгоритм

Идея

Основная мысль — изменить структуру хранения графа. Ниже будет показан алгоритм, работающий за [math]O(m*log(m))[/math] (ранее лучшим считался результат [math]O(m^2*log(m))[/math] )

Представление графа

Пусть [math]G[/math] — неориентированный связный граф, [math]V[/math] — множество его вершин, [math]E[/math] — ребер. Будем хранить ребра в виде списков связности. Пусть [math]L_v[/math] — множество вершин, соединенных с [math]v[/math] ребром, [math]L[/math] — множество всех [math]L_v[/math]. Для каждой вершины [math]v[/math] введем также множество [math]M_v[/math], хранящее в себе неупорядоченные пары вершин из [math]L_v[/math]. Обозначим через [math]M[/math] множество всех [math]M_v[/math]. Таким образом если для всех вершин [math]v[/math] вершины из [math]L_v[/math] разбиты на пары в [math]M_v[/math], то с точностью до первого ребра на [math]G[/math] задан порядок обхода: пара [math](u,w)[/math] в [math]L_v[/math] означает, что придя из [math]u[/math] далее нужно идти в [math]w[/math] (или наоборот).

Фитнес функция

Фитнес функция для эволюционные алгоритмы поиска эйлерова цикла в графе выглядит так: [math]f(M) = m - |M| + k[/math], где

  1. [math]m[/math] — количество ребер в графе;
  2. [math]|M|[/math] — размер множества [math]M[/math];
  3. [math]k[/math] — количество путей в [math]M[/math]

Операция мутации

Операция мутации вводится для двух вершин [math]u[/math] и [math]w[/math] из [math]L_v[/math]. Как их выбрать описано в следующем разделе. Происходит он так:

  • если [math]u=w[/math], то ничего не делаем;
  • если для [math]u[/math] и для [math]w[/math] нет пары, то добавляем к [math]M_v[/math] пару [math](u,w)[/math];
  • если [math]u[/math] и [math]v[/math] уже содержатся в [math]M_v[/math] как пара, то удалим ее;
  • если [math]u[/math] в паре с некоторой если вершиной [math]p\lt /tex, а \lt tex\gt w[/math] без пары, то удалим [math](u,p)[/math] из [math]M_v[/math] и добавим [math](u,w)[/math];
  • если [math]w[/math] в паре с некоторой если вершиной [math]p\lt /tex, а \lt tex\gt u[/math] без пары, то удалим [math](w,p)[/math] из [math]M_v[/math] и добавим [math](u,w)[/math];
  • если [math]u[/math] в паре с некоторой если вершиной [math]p\lt /tex, а \lt tex\gt w[/math] в паре с некоторой [math]k[/math], то удалим [math](u,p)[/math] и [math](w,k)[/math] из если [math]M_v[/math] и добавим [math](u,w)[/math] и [math](p,k)[/math];

Если после операции мутации фитнес функция уменьшилась, то операцию не применяют.

Выбор вершин для мутации

Литература