Изменения

Допустим нам дана задача: Даны два отрезка AB , которые задаются начальной и конечной точками <tex>a,b\ \mathcal{2}\ \mathbb R^2</tex> и CD определяются как множества точек <tex>s\ =\ \{(они могут вырождаться в точки1-t)a + tb,\ t\ \in [0;1]\}</tex>. Требуется проверить, пересекаются они на плоскости или нетсуществование множества их общих точек. Для упрощения определения этого факта в вычислительной геометрии используется предикат "''левый поворот" '' (или "''по часовой стрелке"'').Итак, у нас есть задача, с чего начнем её решать? Какие вообще могут быть Рассмотрим возможные расположения точек и самих отрезков относительно друг друга?:

Одно из решений - определитьОпределим, лежат ли точки концов отрезков по разные стороны от другого отрезка. Вот тут нам и поможет наш предикат, где два из трех аргументов (например a и b) это точки концов одного отрезка, а последний - один из концов другого отрезка.

Left_Turn<tex dpi = "120">$$\operatorname{LeftTurn}(a, b, c) = true\left\{\begin{array}{rl}-1 &\mbox{, если if}\ (c - a)\times(b - a) <tex>0\\0 &\mbox{, if}\ (c - a)\times(b - a) = 0\\1 &\mbox{, if}\ (c - a)\times(c b - a) > 0\end{array}\right.$$</tex>

Распишем поподробнееподробнее:<texdpi = 120>(b c - a)\times(c b - a) = (b_x c_x - a_x)(c_y b_y - a_y) - (b_y c_y - a_y)(c_x b_x - a_x) = A - BV</tex>

NB'''Замечание: ''' при сложении складываются абс. абсолютные погрешности,при умножении складываются отн. относительные погрешности.

<tex dpi = "150"> \delta (b c - a)\times(c b - a) = A \cdot varepsilon \epsilon \cdot left(\frac{(b_x c_x + a_x)}{(b_x c_x \cdot a_x)} + \frac{(c_y b_y + a_y)}{(c_y b_y \cdot a_y)}\right) + B \cdot \epsilon varepsilon \cdot left(\frac{(b_y c_y + a_y)}{(b_y c_y \cdot a_y)} + \frac{(c_x b_x + a_x)}{(c_x b_x \cdot a_x)}\right)</tex>

Заметим, что все координаты (а значит и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Какую? Посмотрим внимательнее на наш предикат. Ошибка раскрывается тогдаИменно поэтому, когда угол между отрезками АВ и АС ''крайне мал'', мы можем получить неверное значение предиката.

Заметим, что все координаты (а, значит, и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Распишем вещественное исчисление: <tex dpi = 140>V = (c - a)\times(b - a) \approx (c_x \ominus a_x)\otimes(b_y \ominus a_y) \ominus (c_y \ominus a_y)\otimes(b_x \ominus a_x) =</tex> <tex dpi = 130>= \big((c_x - a_x)(b_y - a_y)(1 + \delta_1)(1 + \delta_2)(1 + \delta_3)\ -</tex> <tex dpi = 130>-\ (c_y - a_y)(b_x - a_x)(1 + \delta_4)(1 + \delta_5)(1 + \delta_6)\big)(1 + \delta_7) = \tilde{V}</tex> <tex dpi = 130>\mid\delta_i\mid \le \varepsilon_m = 2^{-54}</tex>; Получим некую окрестность <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}| \le 8 \varepsilon_m</tex>, если ноль попадает в наш интервал, то приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, такими как [[Adaptive precision arithmetic|''adaptive precision arithmetic'']], либо [[Интервальная арифметика |''интервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. '''Замечание:''' расписанное неравенство смотрите в [[Представление_чисел_с_плавающей_точкой#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.82|''другом конспекте'']] =Bounding box=Ещё следует обратить внимание на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай надо рассмотреть рассматривается отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют "''проверкой на bounding box"''). Но отметим, что чаще всего данный предикат используют для трех точек, где одна из них относится сразу к двум отрезкам.