Изменения

|item1=(исправлено)Для примера факторгруппы надо: группа Требуется еще несколько примеров факторгрупп.|item2=Требуется пример группы <tex>G</tex>и ее подгруппы <tex>H</tex> (не нормальной), ее нормальная подгруппа для которых <tex>G/H</tex> и группа-результатне является группой.

Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее нормальную [[Подгруппанормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{--- }} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу:.{{Определение|definition='''Произведением''' смежностных классов <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> назовем смежностный класс <tex>(ab)H</tex>.}} 

произведением двух Определение произведения смежных классов является класс, в который входит корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей этих классов. Проверим корректность этого определения<tex>a</tex> и <tex>b</tex>. |proof=Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.В самом деле, <tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b</tex>. Элемент <tex>h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)</tex> лежит в <tex>H</tex> по свойству нормальности <tex>H</tex>. Следовательно, <tex>a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>.

Таким образом, фактормножество множество смежных классов <tex>G/H</tex> с введенной на нем операцией произведения образует подгруппугруппу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> {{- --}} <tex>a^{-1}H</tex>.

* пусть для группы Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> ее нормальной подгруппой будет и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>(группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.