Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта — различия между версиями
Строка 1: | Строка 1: | ||
Оптимальный коэффициент апроксимации для произвольного Парето-фронта из n точек ограничивается <math> 1 + \Theta (1/n) </math>. Докажем, что он равен асимптотическому коэффициенту апроксимации для множества из n точек максимизирующих значение индикатора гиперобъема. | Оптимальный коэффициент апроксимации для произвольного Парето-фронта из n точек ограничивается <math> 1 + \Theta (1/n) </math>. Докажем, что он равен асимптотическому коэффициенту апроксимации для множества из n точек максимизирующих значение индикатора гиперобъема. | ||
− | Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex> | + | Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> \mu , \nu </tex> функция <tex> f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu f(x/ \mu ) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>. |
Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. | Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. | ||
− | Для данного класса функций множества размера <tex>n</tex> имеют оптимальный аппроксимационный коэффициент: [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Эволюционные_алгоритмы_многокритериальной_оптимизации,_основанные_на_индикаторах._Гиперобъем|ограничивается <tex>1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>]. Верхняя граница задает нижнюю границу для коэффициента апроксимации, который может быть достигнут для любого множества решения. | + | Для данного класса функций множества размера <tex>n</tex> имеют оптимальный аппроксимационный коэффициент: [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Эволюционные_алгоритмы_многокритериальной_оптимизации,_основанные_на_индикаторах._Гиперобъем|ограничивается <tex>1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>]. Верхняя граница задает нижнюю границу для коэффициента апроксимации, который может быть достигнут для любого множества решения. В статье [The Maximum Hypervolume Set |
+ | Yields Near-optimal Approximation|http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/4/2010GECCO_Hyp.pdf], п. 4 приведено доказательство того, что для множества максимизирующего значение индикатора гиперобъема мы можем имеем верхнюю границу <tex>1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a}} + \sqrt{ \frac{B}{b}}}{n - 4}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math> для коэффициента апроксимации. | ||
Версия 02:40, 19 июня 2012
Оптимальный коэффициент апроксимации для произвольного Парето-фронта из n точек ограничивается
. Докажем, что он равен асимптотическому коэффициенту апроксимации для множества из n точек максимизирующих значение индикатора гиперобъема.Рассмотрим функции вида:
, где убывает и . Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков и . Так как для фиксированных констант функция и имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений и .Множество всех таких функций обозначим через
.Для данного класса функций множества размера . Верхняя граница задает нижнюю границу для коэффициента апроксимации, который может быть достигнут для любого множества решения. В статье [The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation| = http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/4/2010GECCO_Hyp.pdf], п. 4 приведено доказательство того, что для множества максимизирующего значение индикатора гиперобъема мы можем имеем верхнюю границу = для коэффициента апроксимации.
имеют оптимальный аппроксимационный коэффициент:
Основные определения
Определение: |
Множество , где ( доминирует ) - множество оптимальных по Парето решений, его также называют Парето-фронтом. Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время. | называется Парето оптимальным, если:
Определение: |
Множество решений | называется -аппроксимацией функции , если:
Определение: |
Коэффицентом аппроксимации функции | на равен: аппроксимация
Определение: |
Оптимальный коэффицент аппроксимации |
Определение: |
Индикатор называется эластичным по Парето(Pareto-compliant), если для любых двух множеств решения | и значение индикатора для больше значения для тогда и только тогда, когда доминирует .
Определение: |
Пусть дано множество решения Гиперобъем является единственным унарным индикатором эластичным по Парето(Pareto-compliant). , где через обозначена мера множества | . Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой . Тогда: