Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта

Рассмотрим функции вида: [math]f:[a,A] \rightarrow [b,B][/math], где [math]f[/math] убывает и [math]f(a)=B, f(A)=b[/math]. Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков [math] [a,A][/math] и [math][b,B] [/math]. Так как для фиксированных констант [math] \mu , \nu [/math] функция [math] f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ][/math] и [math] f^*= \nu f(x/ \mu ) [/math] имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений [math]A/a[/math] и [math]B/b[/math].

Множество всех таких функций обозначим через [math]\mathbb{F}[/math]. Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные Парето-фронты.

Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-фронта из n ([math] \alpha _{OPT}[/math]) и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из n точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема ([math] \alpha _{HYP}[/math]) и докажем, что для количества точек [math] n [/math] они одинаковы, а именно [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math].

Первая часть доказательства ограничивает значение оптимального коэффицента апроксимации сверху: [math]1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}[/math] = [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math].

В статье [1], п. 4 приведено доказательство того, что для данного вида функций всегда существует множество решение, максимизирующее значение индикатора гиперобъема, а также устанавливает значение коэффициент аппроксимации значением: [math]1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a}} + \sqrt{ \frac{B}{b}}}{n - 4}[/math] = [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math].

Конечно, зависимость от [math] [a,A][/math] и [math][b,B] [/math] в аппроксимационном коэффициенте оптимального множества решения меньше чем в аппроксимационном коэффициенте для множества, максимизирующего гиперобъем. Однако, полученная граница для коэффициента аппроксимации является верхней. На рисунке ниже Вы можете увидеть пример поведения данных значений для определенного класса функций.

Основные определения

Определение:

Множество [math]X^* \subseteq X[/math] называется Парето оптимальным, если: [math]\mathrm{\forall x^* \subset X^* \not \exists x \subset X : x \succ x^*}[/math], где [math] x \succ x^* [/math]([math]x[/math] доминирует [math]x^*[/math])[math] \leftrightarrow \left( \forall i \in 1 \ldots d: f_i(x) \gt f_i(x^*) \right) \bigwedge \left( \exists i \in 1 \ldots d: f_i(x) \gt f_i(x^*)\right)[/math] [math]P(X^*)[/math] - множество оптимальных по Парето решений, его также называют Парето-фронтом. Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время.

Определение:

Множество решений [math]\mathrm{X=(x_1,x_2, \ldots , x_n)}[/math] называется [math]\alpha[/math]-аппроксимацией функции [math]f \in \mathbb{F}[/math], если: [math]\mathrm{\forall x \in [a,A] \exists x_i \in X : (x \leq \alpha x_i) \bigwedge (f(x) \leq \alpha f(x_i))}[/math]

Определение:

Коэффицентом аппроксимации функции [math]f[/math] на [math]X[/math] равен: [math]\mathrm{\alpha (f, X) = inf \{\alpha | X} - \alpha[/math] аппроксимация [math]f \}[/math]

Определение:

Оптимальный коэффицент аппроксимации [math]\alpha_{opt} = \sup \limits_{f \in \mathbb{F}} \inf \limits_{x \in \mathbb{X}} \alpha (f, X)[/math]

Определение:

Индикатор называется эластичным по Парето(Pareto-compliant), если для любых двух множеств решения [math]A[/math] и [math]B[/math] значение индикатора для [math]A[/math] больше значения для [math]B[/math] тогда и только тогда, когда [math]A[/math] доминирует [math]B[/math].

Определение:

Пусть дано множество решения [math]\mathrm{X \in \mathbb{R}^d}[/math]. Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой [math]\mathrm{r = \left(r_1, r_2, \ldots, r_d \right)}[/math]. Тогда: [math]\mathrm{HYP\left(X\right)=VOL\left( \bigcup\limits_{\left(x_1, x_2, \ldots, x_d \right) \in X} \left[ r_1, x_1\right] \times \left[ r_2, x_2\right] \times \cdots \times \left[ r_d, x_d\right] \right)}[/math], где через [math]VOL(X)[/math] обозначена мера множества [math]X[/math] по Лебегу. Гиперобъем является единственным унарным индикатором эластичным по Парето(Pareto-compliant).

Источники

1. Friedrich T., Bringmann K. - The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation