Cравнение RMHC и генетического алгоритма на Royal Road Function

Эта статья находится в разработке!

Royal Road Function

Определение:

Схема — частично определенная битовая строка [math]s[/math], где '[math]*[/math]' обозначает символ [math]0[/math] или [math]1[/math].

Определение:

Блок — подсхема. Набор блоков одинаковый длины формируют схему.

Определение:

Royal Road function [math]R[/math] — список схем [math](s_1, s_2,..,s_t)[/math] одинаковой длины.

Определение:

Порядок схемы [math]c_i[/math] — число определенных битов в схеме [math]s_i[/math]

Определение:

Экземпляр схемы — битовая строка [math]x[/math], биты которой совпадает с определенными битами схемы [math]s_i[/math] в соответствующих позициях. Говорят, что [math]x \in s_i [/math]

Определение:

Уровень — набор схем Royal Road function с одинаковым порядком.

Определение:

Фитнес функция [math]R(x)[/math] [math]=\sum_{i=t}^{t} c_i \delta_i(x)[/math], где [math]\delta_i(x)=\begin{cases} 1,&x \in s_i;\\ 0,&x \notin s_i.\end{cases}[/math]

Пример Royal Road Function [math]R_1[/math]

[math]s_1=[/math] 11111111******************************************************** ; [math]c_1 = 8[/math]

[math]s_2=[/math] ********11111111************************************************ ; [math]c_2 = 8[/math]

[math]s_3=[/math] ****************11111111**************************************** ; [math]c_3 = 8[/math]

[math]s_4=[/math] ************************11111111******************************** ; [math]c_4 = 8[/math]

[math]s_5=[/math] ********************************11111111************************ ; [math]c_5 = 8[/math]

[math]s_6=[/math] ****************************************11111111**************** ; [math]c_6 = 8[/math]

[math]s_7=[/math] ************************************************11111111******** ; [math]c_7 = 8[/math]

[math]s_8=[/math] ********************************************************11111111 ; [math]c_8 = 8[/math]

[math]s_{opt}=[/math] 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ;

Анализ RMHC и IGA

The Building Block Hypothesis

Согласно The Building Block Hypothesis генетический алгоритм, скрещивающий экземпляры блоков в среднем выполняет поиск быстрее, чем алгоритм, скрещивающий экземпляры самих схем.

Постановка задачи

Оценим время поиска оптимальной строки для некоторой заданной Royal Road function [math] R[/math] со схемами, разложенными в [math]N[/math] блоков длины [math]K[/math]. Длина строки должна составлять [math]L = NK[/math]. Для поиска воспользуемся алгоритмами RMHC и IGA.

RMHC (Random-mutation hill-climbing)

Алгоритм

 1. Выбирается случайная строка и сохраняется как лучшая.
 2. Если строка является оптимум или если был достигнут установленный максимум для числа вычислений фитнес функции — 
 возвращается лучшая строка. В противном случае выполняется переход к следующему шагу.
 3. Выбирается бит для случайной мутации. Если мутация приводит к большему либо равному значению фитнес функции, 
 то полученная строка выбирается, как лучшая и выполняется переход к шагу 2.

Оценка для RMHC

Обозначим время нахождения первого блока за [math]E(K, 1)[/math], [math]O(E(K, 1)) = 2^K [/math]

Время нахождения первого и второго блока [math]E(K, 2)=E(K, 1) + E(K, 1)[KN/(KN-K)][/math]

Ожидаемое время поиска:

[math]E(K, N)=E(K, 1)+E(K, 1)\frac{N}{N-1}+...+E(K, 1)\frac{N}{N-(N-1)}=E(K, 1)N[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{N}][/math]

[math]E(K, N) = E(K, 1) N (\log N + \gamma)[/math], где [math]\gamma[/math] — постоянная Эйлера

Таким образом, можно получить оценку:

[math]E(K, N) = O(2^K N \log N)[/math]

IGA (Idealized Genetic Algorithm)

Рассмотрим идеализированный генетический алгоритм. Используется допущение о том, что IGA знает, экземплярами каких схем является полученная на каждой итерации строка.

Алгоритм

1. Выбирается случайная строка и сохраняется, как лучшая.
2. Выбирается случайная строка, проводится проверка, является ли строка экземпляром хотя бы одной из требуемых схем. Если строка является экземпляром еще не обнаруженных ранее схем, выполняется скрещивание с лучшей строкой таким образом, чтобы получить строку, являющейся экземпляром для всех обнаруженных схем. Полученная строка сохраняется как лучшая.
3. Если лучшая строка является экземпляром для всех искомых схем или если был достигнут установленный максимум для числа итераций — возвращается лучшая строка. В противном случае выполняется переход к шагу 2.

Оценка для IGA

Вероятность нахождения требуемого блока [math]s[/math] в случайной строке [math]p=1/2^k[/math], вероятность нахождения блока [math]s[/math] за время [math]t[/math] равна [math]1-(1-p)^t[/math]

Вероятность нахождения всех требуемых [math]N[/math] блоков за время [math]t[/math]: [math]P_{N}(t)=(1-(1-p)^t)^N[/math]

Вероятность нахождения требуемых блоков точно в момент времени [math]t[/math]: [math]P_{N}(t)=(1-(1-p)^t)^N - (1-(1-p)^{t-1})^N[/math]

Ожидаемое время поиска:

[math]E(K, N)=\sum_1^\infty t [ (1-(1-p)^t)^N - (1-(1-p)^{t-1})^N ][/math]

Воспользовавшись приближением [math](1-p)^n \approx 1-np[/math] для малых [math]p[/math], можно получить:

[math]E(K, N) \approx (1/p) \sum_{n=1}^N \frac{1}{N} \approx 2^K(\log N + \gamma)[/math]

Таким образом, оценка для ожидаемого времени поиска:

[math]E(K, N) = O (2^K \log N)[/math]

IGA и Real GA

Выделим ряд особенностей IGA, которые можно соблюсти в реальном генетическом алгоритме:

1. Независимые выборки: размер популяции должен быть достаточно большой, процесс отбора должен быть достаточно медленным, и частота мутаций должна быть достаточной, чтобы убедиться, что ни один бит не фиксируется в одном значении в большинстве строк в популяции.
2. Мгновенный кроссовер: скорость кроссовера должна быть такой, что время для скрещивания двух искомых схем мало по отношению ко времени их нахождения.
3. Превосходство в скорости: оценка скорости для RMHC: [math]E(K, N) = O( 2^K N \log N )[/math], для IGA: [math]E(K, N) = O( 2^K \log N )[/math]. Длина строки должна быть достаточно большой, чтобы фактор [math]N[/math] давал превосходство в скорости для алгоритма IGA.

Результаты сравнения

Были получены следующие экспериментальные результаты:

Сравнение осуществлялось между RMHC и GA на Royal Road Function [math]R_4[/math].

Royal Road Function [math]R_4[/math]:

Уровень 1: [math]s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6 s_7 s_8 s_9 s_{10} s_{11} s_{12} s_{13} s_{14} s_{15} s_{16}[/math]

Уровень 2: [math](s_1 s_2) (s_3 s_4) (s_5 s_6) (s_7 s_8) (s_9 s_{10}) (s_{11} s_{12}) (s_{13} s_{14}) (s_{15} s_{16})[/math]

Уровень 3: [math](s_1 s_2 s_3 s_4) (s_5 s_6 s_7 s_8) (s_9 s_{10} s_{11} s_{12}) (s_{13} s_{14} s_{15} s_{16})[/math]

Уровень 4: [math](s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6 s_7 s_8) (s_9 s_{10} s_{11} s_{12} s_{13} s_{14} s_{15} s_{16})[/math]

Экспериментальные результаты

В таблице указаны среднее число вычислений фитнес функции для достижения первого, второго и третьего уровней. Четвертый уровень не был достигнут ни одним алгоритмом за выбранный максимум [math]10^6[/math] для числа вычислений фитнес функции.

Таблица

		Уровень 1	Уровень 2	Уровень 3
GA	число вычислений	500	4486	86078
	% запусков	100	100	86
RMHC	число вычислений	230	8619	95027
	% запусков	100	100	41

Как видно, время достижения первого уровня сравнимо для двух алгоритмов, но генетический алгоритм быстрее, при достижении второго и третьего уровней.