Конечная группа — различия между версиями
(→Таблицы умножения для конечных групп) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Требует доработки | {{Требует доработки | ||
|item1=Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп. | |item1=Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп. | ||
| − | |item2=Надо убрать алгоритм построения. | + | |item2=(исправлено)Надо убрать алгоритм построения. |
|item3=Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>, в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать. | |item3=Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>, в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать. | ||
}} | }} | ||
| Строка 40: | Строка 40: | ||
|} | |} | ||
| − | + | === Свойства === | |
| − | + | {{Утверждение | |
| − | + | |statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы | |
| − | + | |proof= | |
| − | + | темп | |
| − | + | }} | |
| − | + | {{Утверждение | |
| + | |statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна | ||
| + | |proof= | ||
| + | темп | ||
| + | }} | ||
| + | {{Утверждение | ||
| + | |statement=темп | ||
| + | |proof= | ||
| + | темп | ||
| + | }} | ||
=== Примеры таблиц умножения для конечных групп === | === Примеры таблиц умножения для конечных групп === | ||
Версия 22:46, 3 августа 2010
Эта статья требует доработки!
- Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
- (исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
- Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка изоморфны , в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.
Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).
| Определение: |
| Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы называют порядком группы и обозначают . |
Таблицы умножения для конечных групп
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
Структура
Пусть = - группа из n элементов.
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
| * | a1 | a2 | ... | an |
|---|---|---|---|---|
| a1 | a1a1 | a1a2 | ... | a1an |
| a2 | a2a1 | a2a2 | ... | a2an |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| an | ana1 | ana2 | ... | anan |
Свойства
| Утверждение: |
Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы |
| темп |
| Утверждение: |
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна |
| темп |
| Утверждение: |
темп |
| темп |
Примеры таблиц умножения для конечных групп
1) n = 1
| * | e |
|---|---|
| e | e |
2) n = 2
| * | e | a |
|---|---|---|
| e | e | a |
| a | a | e |
3) n = 3
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | b | e |
| b | b | e | a |
4) n = 4
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | b | c | e |
| b | b | c | e | a |
| c | c | e | a | b |
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | a | e |
| c | c | b | e | a |
5) n = 5
| * | e | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d |
| a | a | b | c | d | e |
| b | b | c | d | e | a |
| c | c | d | e | a | b |
| d | d | e | a | b | c |
6) n = 6
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | d | f | e | a |
| c | c | b | f | d | a | e |
| d | d | f | e | a | b | c |
| f | f | d | a | e | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | d | f | b |
| b | b | c | d | f | e | a |
| c | c | b | f | e | a | d |
| d | d | f | e | a | b | c |
| f | f | d | a | b | c | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | d | f | a | e |
| c | c | b | f | d | e | a |
| d | d | f | a | e | b | c |
| f | f | d | e | a | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | f | b | d |
| b | b | c | f | d | a | e |
| c | c | b | d | e | f | a |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | d | e | a | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | b | f | c |
| b | b | c | e | f | a | d |
| c | c | b | f | d | e | a |
| d | d | f | a | e | c | b |
| f | f | d | c | a | b | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | c | b |
| b | b | c | e | a | f | d |
| c | c | b | f | d | a | e |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | d | c | e | b | a |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | c | e | d | f | a |
| c | c | b | f | e | a | d |
| d | d | f | a | b | c | e |
| f | f | d | c | a | e | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | c | b |
| b | b | c | e | d | f | a |
| c | c | b | f | e | a | d |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | d | c | a | b | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | c | f | e | a | d |
| c | c | b | e | d | f | a |
| d | d | f | a | b | c | e |
| f | f | d | c | a | e | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | c | b |
| b | b | c | f | e | a | d |
| c | c | b | e | d | f | a |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | d | c | a | b | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | e | d | f | c |
| b | b | e | a | f | c | d |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | f | c | a | b | e |
| f | f | c | d | b | e | a |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | e | d | f | c |
| b | b | e | a | f | c | d |
| c | c | d | f | e | b | a |
| d | d | f | c | a | e | b |
| f | f | c | d | b | a | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | e | d | f | c |
| b | b | e | a | f | c | d |
| c | c | d | f | a | e | b |
| d | d | f | c | e | b | a |
| f | f | c | d | b | a | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | e | d | f | c |
| b | b | e | a | f | c | d |
| c | c | d | f | a | b | e |
| d | d | f | c | b | e | a |
| f | f | c | d | e | a | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | e | f | d |
| b | b | c | d | f | e | a |
| c | c | e | f | d | a | b |
| d | d | f | e | a | b | c |
| f | f | d | a | b | c | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | e | f | d |
| b | b | c | d | f | a | e |
| c | c | e | f | d | b | a |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | d | e | a | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | d | e | f | c |
| b | b | c | e | f | a | d |
| c | c | e | f | d | b | a |
| d | d | f | a | b | c | e |
| f | f | d | c | a | e | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | d | e | f | c |
| b | b | c | e | f | a | d |
| c | c | e | f | d | b | a |
| d | d | f | c | a | e | b |
| f | f | d | a | b | c | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | d | f | e |
| b | b | c | e | f | a | d |
| c | c | d | f | e | b | a |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | e | d | a | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | d | f | e |
| b | b | c | e | f | a | d |
| c | c | d | f | a | e | b |
| d | d | f | a | e | b | c |
| f | f | e | d | b | c | a |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | d | f | e |
| b | b | c | a | f | e | d |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | f | e | a | b | c |
| f | f | e | d | b | c | a |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | d | f | e |
| b | b | c | f | e | a | d |
| c | c | d | e | f | b | a |
| d | d | f | a | b | e | c |
| f | f | e | d | a | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | f | e | d |
| b | b | c | e | d | f | a |
| c | c | f | d | e | a | b |
| d | d | e | f | a | b | c |
| f | f | d | a | b | c | e |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | f | e | d |
| b | b | c | e | d | f | a |
| c | c | f | d | a | b | e |
| d | d | e | f | b | a | c |
| f | f | d | a | e | c | b |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | f | e | d |
| b | b | c | a | d | f | e |
| c | c | f | d | e | a | b |
| d | d | e | f | a | b | c |
| f | f | d | e | b | c | a |
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | b | c | f | e | d |
| b | b | c | d | e | f | a |
| c | c | f | e | d | a | b |
| d | d | e | f | a | b | c |
| f | f | d | a | b | c | e |
