Интеграл Римана-Стилтьеса

<wikitex> Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично интегралу Римана:

Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

Определение:

Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.

Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса):

$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 $.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказывается аналогично интегралу Римана.

[math]\triangleleft[/math]

Теперь перенесем все это на $g \in V(a, b)$. $ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg = (def) \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Обладает линейностью и аддитивностью, и так же линейностью по весовой функции:

Свойства:

1. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
2. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $

Все это переносится на функции ограниченной вариации:

$ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $

{{Теорема |about= о существовании интеграла Римана-Стилтьеса |statement= Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует. |proof Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x)| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$ </wikitex>