О почленном интегрировании ряда Фурье

Эта статья находится в разработке!

[math]f \in L_1[/math], [math]\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx[/math]

Есть функции, для которых ряд расходится в каждой точке.

[math]F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt[/math]

[math]|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{\le}{x_k \le x_{k+1}} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt[/math]

Создадим разбиение нашего промежутка. Тогда вариация

[math]\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) [/math] [math]\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt[/math] [math]= \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt \lt +\infty[/math]

Значит, [math]\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| \le +\infty[/math]

Итак, на [math]Q[/math] [math]f[/math] имеет ограниченную вариацию.

Проверим, что [math]F[/math] — [math]2\pi[/math]-периодична.

[math]F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}[/math]

Под знаком интеграла [math]2\pi[/math]-периодическая функция, значит, [math]\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt [/math] [math]= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0[/math] [по определению [math]a_0[/math]] [math]\pi a_0 - \pi a_0 = 0[/math]

[math]\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)[/math]

Итак, [math]F \in \bigvee[/math]. Значит,по теореме Жордана, в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится, [math]\sigma(f, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2[/math]

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что [math]F[/math] — непрерывна и [math]F \in CV[/math], а также, [math]\sigma(F, x) = F(x)[/math]

Теперь вычислим коэффициенты Фурье [math]F[/math]. [math]a_0(F)[/math] считать пока не будем.

[math]a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) [/math] [math]= \frac1{\pi n} (F(x) \sin x)^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x) = 0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)[/math]

Сошлёмся на пока неизвестный факт(далее его установим), что [math]F[/math] для почти всех [math]x[/math] дифференцируема по верхнему пределу интегрирования и значение производной равно [math]f(x)[/math].

[math]\int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) = \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = \pi b_n n [/math]

TODO: подозрительно

Значит, [math]a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{\pi n}[/math]. В силу сказанного выше,

[math]F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)[/math]

Подставим [math]0[/math] и убедимся, что [math]\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n[/math]

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но [math]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n[/math] всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}[/math]. Очевидно, [math]\frac1{\ln n} \to 0[/math].

При [math]x = 0[/math] ряд сходится. При [math]x \ne 0[/math], [math]\left|\sum\limits_{n=0}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}[/math], то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно, так как, иначе, он был бы рядом Фурье)

Предположим, что это ряд Фурье. [math]b_n(f) = \int \frac1{\ln n}[/math]

Тогда ряд [math]\sum \frac1{n\ln n}[/math] должен был бы сходиться. Но [math]\sum \frac1{n\ln n} ~ \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty[/math]. Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле [math]F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)[/math]. Рассмотрим [math]A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n \sin nx[/math]

[math]\int\limits_0^x A_n(f, x) dx + \frac{a_n(f)}n \sin nx \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx \big|^x_0[/math] [math]=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n[/math]

Значит, если составить ряд из интегралов [math]\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx[/math] [math]= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right)[/math] [math]= \int\limits_0^x \left(f(x) - \frac{a_0}2 \right) dt [/math] [math]= \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt[/math]

Получаем, [math]\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt[/math]

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

Теорема (Лузин, Данжуа):

TODO: ???

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: ????

[math]\triangleleft[/math]