Определение ряда Фурье

L_p

Определение:

$L_p, (p \ge 1)$ — совокупность $2\pi$-периодических функций, суммируемых с $p$-й степенью на промежутке $Q = [-\pi, \pi]$. То есть, $L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \}$.

Определение:

Систему функций $1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)$ называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, $2\pi$-периодическая, следовательно, все функции принадлежат $L_p$.

Заметим, что, из-за $2\pi$-периодичности, $\int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0$.

Утверждение:

При $n \ne m$ : $\int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0$, $\int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi$.

$\triangleright$

Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как $\cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx)$.

$\triangleleft$

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: $\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)$. Если, начиная с какого-то места, $c_n = d_n = 0$, то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Замечание (предел в пространстве $L_1$): если $f_n, f \in L_1$, то $f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$.

Теорема:

Пусть тригонометрический ряд $\frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ сходится в $L_1$ и имеет суммой функцию $f$. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: $a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx$.

Доказательство:

$\triangleright$

Формула для $a_0$ очевидна. Пусть $S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx)$. По условию, $\int\limits_{Q} | f(x) - f_n(x) | dx \rightarrow 0$. Зафиксируем некоторое натуральное $p$: $| \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$. Значит, $\int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0$. Если $n \gt p$, то $\int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p$. Значит, $\frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p$. Аналогично доказывается формула для $b_p$.

$\triangleleft$

Определение:

Пусть функция $f \in L_1$. Ряд Фурье $f$ — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.

Колмогоров построил пример суммируемой $2\pi$-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье, сходящегося в каждой точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные $L_p$-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлсон доказал, что для функций из $L_2$ ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является $2T$-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет $1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)$.

Пусть $f(x)$ определена и суммируема на $[0; a]$. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:

1. $T = a$, на $[-a; 0]$ продолжаем $f$ как четную функцию. Тогда $a_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0$, ряд Фурье выглядит как $\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx$.
2. $T = a$, на $[-a; 0]$ продолжаем $f$ как нечетную функцию. В этом случае $a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx$, ряд Фурье имеет вид $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx$.
3. $2T = a$, здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если $f$ задана на $[0; a]$, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.