Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
|proof=
<tex>T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx</tex>. Здесь <tex>n</tex> уменьшить нельзя.
Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо <tex>n</tex> будет <tex>2n</tex>. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя <tex>L_p</tex>.
Основываемся на том, что тригонометрический полином {{---}} ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.
<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)</tex>
Дифференцируем по <tex>x</tex>. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом {{---}} тригонометрический полином.
<tex>T'_n(x) = -\int\limits_Q T_n(t)D'_n(t-x) dt = \int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t)dt</tex>
<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t) D'_n(t) dt</tex>
<tex>D_n(t) = \frac1\pi\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right)</tex>
<tex>D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt</tex>
Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше <tex>n</tex>
<tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>
<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)+G(t)) dt</tex>
Вспомним об ядре Фейера
<tex>\Phi_n(t) = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)}\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^k \cos jt \right) \right)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left( \frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n \cos jt \sum\limits_{k=j}^n 1 \right) </tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left(\frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n (n-j+1)\cos jt\right)</tex> <tex>= \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \cos jt</tex>
Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
<tex>G(t) = \sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
Итого: <tex>T'_n(x) = 2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
<tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.
<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от {{TODO|t=????}}.
<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\|T_n\|</tex>
Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
}}
