Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в [math]L_1[/math]

Определение:

[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math]. То есть, [math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: [math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math]. Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Теорема:

Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].

Определение:

Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.

2 Ядра Дирихле и Фейера

Определение:

[math]D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math] — тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле.

[math]D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}[/math]

Определение:

[math]S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt[/math] — интеграл Дирихле.

Определение:

[math]S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt[/math]. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки [math]f[/math] c ядром [math]D_n(t)[/math].

Определение:

[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)[/math] — тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера.

[math]\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2[/math]

3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)

TODO: пилим

4 Теорема Фробениуса

TODO: пилим

5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве

TODO: пилим

6 Теорема Фейера

TODO: пилим

7 Следствие о двух пределах

TODO: пилим

8 Всюду плотность множества [math] C [/math] в пространствах [math] L_p [/math]

TODO: пилим

9 Теорема Фейера в пространствах [math]L_p[/math]

TODO: пилим

10 Наилучшее приближение в НП и его свойства

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).

Определение:

Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].

Заметим: гарантий, что [math]y^*[/math] единственный и что он вообще существует, нет.

Утверждение:

Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

11 Существование элемента наилучшего приближения

TODO: пилим

12 Обобщенная теорема Вейерштрасса

TODO: пилим

13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из [math]L_1[/math]

TODO: пилим

14 Теорема Дини

TODO: пилим

15 Следствие о четырех пределах

TODO: пилим

16 Полная вариация функции и ее аддитивность

TODO: пилим

17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций

TODO: пилим

18 У словие существования интеграла Стилтьесса

TODO: пилим

19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции

TODO: пилим

20 Аддитивность интеграла Стилтьесса

TODO: пилим

21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана

TODO: пилим

22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса

TODO: пилим

23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации

TODO: пилим

24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации

TODO: пилим

25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье

TODO: пилим

26 Ряды Фурье в [math]L_2[/math] : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя

TODO: пилим

27 Замкнутые и полные о.н.с.

TODO: пилим

28 Равенство Парсеваля

TODO: пилим

29 Теорема Лузина-Данжуа

TODO: пилим

30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из [math]L_2[/math]

TODO: пилим

31 Принцип локализации для рядов Фурье

TODO: пилим

32 Почленное интегрирование ряда Фурье

TODO: пилим

33 Модуль непрерывности и его свойства

TODO: пилим

34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности

TODO: пилим

35 Модуль непрерывности в пространстве [math] C [/math]

TODO: пилим

36 Ядро Джексона

TODO: пилим

37 Теорема Джексона

TODO: пилим

38 Следствия для [math]C^{(r)}[/math]

TODO: пилим

39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов

TODO: пилим

40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений

TODO: пилим

41 Явление Гиббса

TODO: пилим

42 Константа Лебега ядра Дирихле

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt[/math] называется константой Лебега. [math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}[/math].

43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега

TODO: пилим

44 Частный интеграл Фурье

TODO: пилим

45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье

TODO: пилим