1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>\exists y^* \in Y</tex>, такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>.
|proof=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть, <tex>Y = \Lambda(e_1,..,e_n)</tex>.
<tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>.
Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#weirstrass|теоремы Вейерштрасса]], утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.
Проверим непрерывность:
<tex>\le |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| + \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta\alpha_k e_k\| - \|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| = </tex>
<tex> = \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta \alpha_k e_k\| \le \sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k\||e_k\| \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex>(по неравенству Коши).
Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}</tex> {{---}} числоконстанта для данного базиса, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.
Пусть <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>\dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению).
Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.
Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества.
1) ''Замкнутость''
Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.
Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто.
2) ''Ограниченность''
Рассмотрим евклидову норму в <tex> \mathbb{R}^n </tex>: <tex>\|\overline{\alpha}\| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex>.
Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex>, то, по доказанной теореме, существует <tex> T_n(f) \in A_n</tex>, такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>.
Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) \ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть, <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке#weirstrasscont|теореме Вейерштрасса]], любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, <tex>E_n(f) \to 0</tex>.
