Определение поля и подполя, изоморфизмы полей

Эта статья находится в разработке!

Расширим понятие кольца: введём обратный элемент [math](F, *, +)[/math] — получим поле

1. абелево по [math]+[/math]
2. [math]F\setminus\{0\}[/math] — абелево по [math]*[/math]
3. дистрибутивно

Примеры:

• Поля: [math]\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n^*[/math]
• [math]\mathbb{Q}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p,q \in \mathbb{Q}[x]\}[/math]
• [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}[/math]

Мультипликативная группа поля состоит из ненулевых элементов по умножению.

[math]1 \in F[/math]

[math]n \cdot 1[/math] — обозначение суммы [math] n \cdot 1 = m \cdot 1 \Rightarrow (n-m) \cdot 1 = 0 [/math]

Все разные [math]\begin{cases} 1 \\ 1 + 1 \\ 1 + 1 + 1 \\ \vdots \end{cases} \begin{aligned} \nearrow \exists n : n \cdot 1 = 0 \\ \searrow \nexists n : n \cdot 1 = 0 \end{aligned} [/math]

В первом случае наименьшее такое n называется характеристикой поля и обозначается [math]char\; F[/math]. Во втором случае характеристика поля полагается равной 0.

[math]\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{R} [/math] имеют характеристику 0
[math]\mathbb{Z}_p[/math] имеет характеристику p
[math]\mathbb{Q}(x)[/math] имеет характеристику 0
[math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] — характеристику 0

Теорема

[math] char\; F[/math] либо 0, либо простое число:
[math]\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .[/math]

[math]\triangleright[/math] [math](n \cdot m) \cdot 1 = 0[/math] 

[math] (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow[/math] характеристика [math]\ne n \cdot m[/math] — противоречие с минимальностью [math] char\; F \triangleleft[/math]

Подполе - некоторое поле [math] K \subset F [/math], замкнутое относительно сложения и умножения:

1. [math]0,1 \in K[/math]
2. [math]a,b \in K \Rightarrow a+b \in K [/math]
3. [math]a,b \in K \Rightarrow a*b \in K [/math]
4. [math]a \in K \Rightarrow -a \in K [/math]
5. [math]a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K [/math]

[math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/math] - подполе.

Поле называется простым, если оно не содержит тривиальных подполей. [math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)[/math] - подполе [math]\Rightarrow \mathbb{Q}(x)[/math] - не простое поле.

Определение

Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и 

умножения. 

[math]K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) [/math]

1. [math]char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}[/math]
   F - простое
2. [math]char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P[/math]
   F - простое

[math]\triangleright[/math]

1. [math] char \; F = 0 \Rightarrow [/math] суммы все различны; [math]n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0[/math]
   [math]\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}[/math]
   [math]\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}[/math]
   [math]q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow [/math]построенное поле [math]\cong \mathbb{Q}[/math]
2. [math] char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) [/math]. Замкнуто относительно сложения и умножения [math] \Rightarrow [/math] подполе [math] \cong \mathbb{Z}_p [/math]
   [math] K \subset F [/math], F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины).
   [math] V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow [/math] получаем векторное пространство.
   [math][F:K][/math] - размерность поля F над полем K.

[math] \triangleleft [/math]