Изменения

<tex>a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx</tex> {{---}} существует для любого <tex>n</tex>, не только <tex>n \in \mathbb{N}</tex>натурального.

<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br /><tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.

Выпишем ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)</tex>, где <tex>A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>. Если мы будем рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.

Предложение: рассмотрим интеграл <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz</tex>. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана {{---}} как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.

Этому Ему можно придать более удобную форму:

<tex>a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt</tex>.

<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье.

Далее Сейчас мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:

|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>

<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>

Применим теорему Фубини: <tex>gI(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.

<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt = I</tex>.

<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>.

Тогда <tex>\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>.

Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получаетсяполучаем, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt <+\infty</tex>.