Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в $L_1$

Определение:

$L_p, (p \ge 1)$ — совокупность $2\pi$-периодических функций, суммируемых с $p$-й степенью на промежутке $Q = [-\pi, \pi]$. То есть, $L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \}$.

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: $\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)$. Если, начиная с какого-то места, $c_n = d_n = 0$, то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Теорема:

Пусть тригонометрический ряд $\frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ сходится в $L_1$ и имеет суммой функцию $f$. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: $a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx$.

Определение:

Пусть функция $f \in L_1$. Ряд Фурье $f$ — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.

2 Ядра Дирихле и Фейера

Определение:

$D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})$ — тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле.

$D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}$

Определение:

$S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt$ — интеграл Дирихле.

Определение:

$S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt$. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки $f$ c ядром $D_n(t)$.

Определение:

$\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)$ — тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера.

$\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2$

3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)

TODO: пилим

4 Теорема Фробениуса

TODO: пилим

5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве

TODO: пилим

6 Теорема Фейера

Теорема (Фейер):

Пусть $f \in L_1$, $s \in \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}$, $\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0$. Тогда $\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s$

7 Следствие о двух пределах

Утверждение (следствие Фейера о двух пределах):

Пусть точка $x$ — регулярная, тогда в ней $\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2$

$\triangleright$

Пусть $s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2}$. Так как $f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0)$, по определению предела $\forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| \lt \varepsilon$. Для таких $t$: $|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| \lt 2\varepsilon$, и интересующий нас интеграл $\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon$. Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, $\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2$. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.

$\triangleleft$

8 Всюду плотность множества $C$ в пространствах $L_p$

TODO: пилим

9 Теорема Фейера в пространствах $L_p$

$f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$.

10 Наилучшее приближение в НП и его свойства

Пусть $X$ — нормированное пространство, к примеру, $L_p$. Пусть $Y$ — линейное множество в $X$, например, $H_n$ (тригонометрических полиномов степени не больше $n$).

Определение:

Для любого $x \in X$ величина $E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}$ называется наилучшим приближением точки $x$ элементами линейного множества $Y$. Если при этом существует $y^* \in Y$ такой, что $E_y(x)=\|x-y^*\|$, то этот $y^*$ называется элементом наилучшего приближения точки $x$.

Заметим: гарантий, что $y^*$ единственный и что он вообще существует, нет.

Утверждение:

Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.

11 Существование элемента наилучшего приближения

Теорема:

Пусть $X$ — нормированное пространство, $\dim Y \lt +\infty$, тогда $\forall x \in X$ существует элемент наилучшего приближения $x$.

12 Обобщенная теорема Вейерштрасса

TODO: пилим

13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из $L_1$

Лемма (Риман-Лебег):

Пусть $f \in L_1$, тогда при $n \to \infty$ $a_n \to 0$, $b_n \to 0$.

14 Теорема Дини

$f\in L_1$, $S \in \mathbb{R}$, $\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty$, где $\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s$ . Тогда $S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)$

15 Следствие о четырех пределах

Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)):

Пусть в точке $x$ существует $f(x \pm 0)$ (левый и правый пределы) и $\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}$, $\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}$. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна $\frac{f(x+0)+f(x-0)}2$

16 Полная вариация функции и ее аддитивность

Определение:

Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$. Полной вариацией называется $\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$. $f$ называется функцией ограниченной вариации, если $\bigvee\limits_a^b(f) \lt + \infty$. Класс функций ограниченной вариации обозначается как $\bigvee(a, b)$.

Теорема (аддитивность вариации):

Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)$.

17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций

Теорема:

$f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$).

18 Условие существования интеграла Стилтьесса

<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k$, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k)$ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

Определение:

Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau)$, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$. </wikitex>

Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса):

$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0$.

19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции

<wikitex>

Теорема (о существовании интеграла Римана-Стилтьеса):

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $\int\limits_a^b f dg$ существует.

</wikitex>

20 Аддитивность интеграла Стилтьесса

TODO: пилим

21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана

TODO: пилим

22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса

<wikitex>

Теорема (формула интегрирования по частям):

Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl

</wikitex>

23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации

TODO: пилим

24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации

TODO: пилим

25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье

TODO: пилим

26 Ряды Фурье в $L_2$ : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя

TODO: пилим

27 Замкнутые и полные о.н.с.

TODO: пилим

28 Равенство Парсеваля

TODO: пилим

29 Теорема Лузина-Данжуа

TODO: пилим

30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из $L_2$

TODO: пилим

31 Принцип локализации для рядов Фурье

Теорема (Риман):

Пусть $f,g \in L_1$, $0 \lt \delta \lt \pi$, $x \in \mathbb{R}$. Пусть также в $\delta$-окрестности точки $x$ выполняется $f = g$, тогда $\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0$

32 Почленное интегрирование ряда Фурье

TODO: пилим

33 Модуль непрерывности и его свойства

TODO: пилим

34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности

TODO: пилим

35 Модуль непрерывности в пространстве $C$

TODO: пилим

36 Ядро Джексона

TODO: пилим

37 Теорема Джексона

TODO: пилим

38 Следствия для C^r

TODO: пилим

39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов

TODO: пилим

40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений

TODO: пилим

41 Явление Гиббса

TODO: пилим

42 Константа Лебега ядра Дирихле

$\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt$ называется константой Лебега. $\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}$.

43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега

TODO: пилим

44 Частный интеграл Фурье

TODO: пилим

45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье

TODO: пилим