54
правки
Изменения
→Ослабленный критерий Лебега. Следствие
Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). Ослабленный критерий - это, видимо, тогда, когда множество точек, где ф-ия разрывна, просто конечно.
// Скорее всего, еще все разрывы 1 рода
Примерное доказательство, если там действительно конечное множество точек разрыва:
Пусть есть m точек разрыва. Тогда они входят не более, чем в 2m отрезков дробления. Пусть X — множество точек разрыва. Тогда <tex>S_{\tau} - s_{\tau}</tex> можно представить в виде <tex>\overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X = \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k + \overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k</tex>. На всех отрезках, участвующих в первом слагаемом, функция непрерывна, поэтому оно, очевидно, стремится к нулю при <tex>\max{\Delta{x_k} \to 0}</tex>. Для второго обозначим <tex>d = \underset{[x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\max}{\omega}_k</tex>. Тогда оно меньше или равно <tex>2md{\underset{k\in [0, n - 1]}{\max}}\Delta x_k</tex>, что никак не мешает всей сумме стремиться к нулю.
=== Теорема о среднем. Следствия ===
