PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF)

Определение:

[math]\mathrm{TQBF}[/math] расшифровывается как True Quantified Boolean Formula. Это язык верных булевых формул с кванторами. [math]\mathrm{TQBF}=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}[/math].

Определение:

[math]Quantified Boolean Formula[/math] — это пропозициональная формула с кванторами. Кванторы для каждой переменной записываются в начале выражения.

Лемма (1):

[math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Чтобы доказать это, просто приведём программу [math]solve[/math], решающую булеву формулу с кванторами на [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и работающую за конечное время. [math]solve(Q_k x_k \ldots Q_n x_n \phi(x_k, \ldots, x_n))[/math] if [math]k \gt n[/math] return [math]\phi[/math] if [math]Q_k = \forall[/math] return [math]solve(Q_{k+1} x_{k+1} \ldots Q_n x_n \phi(0, x_{k+1}, \ldots, x_n)) \land solve(Q_{k+1} x_{k+1} \ldots Q_n x_n \phi(1, x_{k+1}, \ldots, x_n))[/math] if [math]Q_k = \exists[/math] return [math]solve(Q_{k+1} x_{k+1} \ldots Q_n x_n \phi(0, x_{k+1}, \ldots, x_n)) \lor solve(Q_{k+1} x_{k+1} \dots Q_n x_n \phi(1, x_{k+1}, \ldots, x_n))[/math] Эта программа требует [math]O(n)[/math] дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — [math]n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

[math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{PS}[/math]. Построим такую функцию [math]f[/math], что [math]x \in L \Leftrightarrow f(x) \in \mathrm{TQBF}[/math] и [math]T(f, x) \le p(|x|)[/math], где [math]p[/math] — полином. Так как [math]L \in \mathrm{PS}[/math], то существует детерминированная машина Тьюринга [math]M[/math], распознающая его с использованием памяти полиномиального размера. Будем считать, что длина ленты машины [math]M[/math] есть [math]r(n)[/math], где [math]r[/math] — полином, а [math]n[/math] — длина входа. Пусть [math]\Omega = |\Sigma \cup Q|[/math], [math]I[/math] — конфигурация [math]M[/math]. Конфигурация задаётся позицией и содержанием рабочей ленты. Введём обозначение [math]x_{I,i,c}[/math] — в конфигурации [math]I[/math] на [math]i[/math]-том месте стоит символ [math]c[/math]. Тогда размер конфигурации равен [math]\Omega r(n)[/math]. Следовательно всего конфигураций [math]2^{\Omega r(n)}[/math]. Под выражением [math]\exists I[/math] будем понимать [math] \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_\Omega} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots[/math] Аналогично выражение [math] \forall I[/math] обозначает [math] \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_\Omega} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots[/math] Рассмотрим функцию [math]\phi(A, B, t)[/math], проверяющую следующее условие: конфигурация [math]B[/math] достижима из конфигурации [math]A[/math] не более, чем за [math]2^t[/math] шагов. [math]\phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \vdash B)[/math]. [math]\phi(A, B, t) = \exists R \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)][/math]. Общую длину получившейся формулы можно представить как [math]L(t) = L(t-1)*2+const[/math]. Заметим, что из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии [math]L(t)[/math] будет иметь экспоненциальный размер относительно [math]t[/math]. Нас это не устраивает, так как нам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором [math]\forall[/math] и перепишем её следующим образом: [math]\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\phi(U, V, t-1) \land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}[/math]. Получившаяся формула верна только когда верно [math]\phi(U, V, t-1)[/math] и [math][(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)][/math]. Это равносильно тому, что [math]V[/math] достижима из [math]U[/math] не более, чем за [math]2^{t-1}[/math] шагов, и либо [math]U = A \land V = R[/math], либо [math]U = R \land V = B[/math]. А если верно и то, и другое, то конфигурация [math]B[/math] достижима из конфигурации [math]A[/math] не более, чем за [math]2^t[/math] шагов. За один шаг рекурсии длина максимального пути между конфигурациями уменьшается в два раза. Поэтому общую длину получившейся формулы можно представить как [math]L(t) = L(t-1)+const[/math], где [math]const = \|\exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\| + \|\land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}\|[/math]. Следовательно, размер полученной функции [math]\phi(A, B, t)[/math] полиномиален относительно [math]t[/math]. Теперь мы можем записать функцию [math]f(M, w)[/math], которая будет переводить ДМТ [math]M[/math] и слово на ленте [math]w[/math] в формулу из [math]\mathrm{TQBF}[/math]. [math]f(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \phi(S, F, log_2(2^{\Omega r(n)})))[/math]. Выражения [math]S - start[/math] и [math]F - accept[/math] можно записать следующим образом: [math]S - start = x_{S, 1, w[1]} \land x_{S, 2, w[2]} \land \ldots \land x_{S, |w|, w[|w|]} \land x_{S, |w| + 1, B} \ldots \land x_{S, r(n) , B}[/math]. [math]F - accept = x_{S, |w| + 1, \#_y} \lor \ldots \lor x_{S, r(n), \#_y}[/math]. Докажем, что сведение [math]f[/math] корректно. Если [math]w \in L[/math], то существует путь из стартовой конфигурации в финишную, длины не более, чем [math]2^{\Omega r(n)}[/math], а значит формула [math]f(M, w)[/math] верна. Если формула [math]f(M, w)[/math] оказалась верна, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не более, чем [math]2^{\Omega r(n)}[/math]. Значит, ДМТ [math]M[/math] допускает слово [math]w[/math]. Тогда [math]w \in L[/math]. Таким образом, [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство непосредственно следует из лемм.

[math]\triangleleft[/math]