689
правок
Изменения
м
→Теорема Дини
}}
Выведем некоторые следствия:
=== Следствие о четырех пределах ===
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке точка <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы)регулярна, а также существуют <tex>\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex> и <tex>\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)-+f(x-0)}{2}</tex>
<tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}</tex>
Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.
Значит, <tex>\ \frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.
}}
