Об интеграле Фурье

<<>>

Эта статья находится в разработке!

Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор — нелинейный, то это — мрак полный. Живите линейно!

Ряд Фурье имеет дело с [math]2\pi[/math]-периодической суммируемой на [math]Q[/math] функцией.

Пусть [math]f[/math] задана на всём [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\int\limits_{\mathbb{R}} |f| \lt +\infty[/math]. Можно ли писать аналог ряда Фурье?

С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.

[math]a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx[/math] — существует для любого [math]n[/math], не только натурального.

Определение:

[math]a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt[/math] — косинусное преобразование [math]f[/math]. [math]b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt[/math] — синусное преобразование [math]f[/math].

Выпишем ряд [math]\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)[/math], где [math]A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx[/math]. Если мы будем рассматривать все вещественные значения [math] n [/math], а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.

Предложение: рассмотрим интеграл [math]\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz[/math]. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана — как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.

Ему можно придать более удобную форму:

[math]a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt[/math].

[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz[/math] — интеграл Фурье.

Интегральная формула Фурье

Утверждение (интегральная формула Фурье):

[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz[/math] [math]= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I[/math] Применим теорему Фубини: [math]I(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz[/math] — частный случай интеграла Фурье. [math]I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt[/math] [math]= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt[/math]. Заменим: [math]\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}[/math] [math]I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I[/math] Сделаем замену переменной: [math]u=t-x[/math] [math]I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du[/math] — аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье. Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси: [math]I(A) = \frac1\pi \left(\int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{+\infty}\right)[/math] [math]=\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} (f(x+t) + f(x-t))\frac{\sin At}t dt[/math] [math]\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin t}t dt = \frac\pi2[/math] — интеграл Дирихле. [math]\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}{At} d(At) = \frac\pi2[/math] [math]\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} 2s \frac{\sin t}t dt = s[/math] [math]I(A) - s = \frac1\pi\int\limits_{\mathbb{R}_+} [f(x+t)+f(x-t)-2s]\frac{\sin At}t dt[/math] — основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке. Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье. Утверждение (признак Дини сходимости интеграла Фурье): Пусть [math]f \in L_1, s \in \mathbb{R}[/math]. Если существует [math]\Delta \gt 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{\varphi_x(t)}{t} dt \lt + \infty[/math], то [math] s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)[/math]. [math]\triangleright[/math] Предположим, что для некоторого [math]\Delta[/math]: [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt +\infty[/math]. Возьмём [math]\delta \in (0; \Delta)[/math]. Рассмотрим [math]|I(A)-s|=\frac1\pi \left|\int\limits_0^\delta + \int\limits_\delta^{+\infty}\right|[/math] [math]\le \frac1\pi\left(\int\limits_0^\delta\frac{|\varphi_x(t)|}{t}dt+ \left|\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt\right| \right)[/math] Рассмотрим первое слагаемое: так как, по условию, [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt +\infty[/math], то [math]\forall\varepsilon\gt 0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt \varepsilon[/math] Далее считаем, что [math]\delta[/math] уже такое и заметим, что оно выбрано вне зависимости от [math]A[/math]. Значит, [math]|I(A)-s| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \left| \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt \right| \right)[/math] Рассмотрим второе слагаемое: [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{f(x+t) +f(x-t)}{t} \sin At dt - 2s \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt [/math] Для второго интеграла: [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt[/math], что, при [math]A\to+\infty[/math], стремится к [math]0[/math]. Значит, при [math]A\to\infty[/math], [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0[/math] Для первого интеграла: в рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены [math]2\pi[/math]-периодические функции. Лемма верна и в общем случае: [math]f[/math] — суммируема на оси [math]\Rightarrow[/math] [math]\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \xrightarrow[p\to\infty]{} 0[/math]. [math]\int\limits_{\delta}^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt[/math] и [math]\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}[/math] и [math]f[/math] — суммируема. Тогда [math]\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}[/math] — суммируемая, а значит, и [math]\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|[/math] — суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, [math]\int\to_{A\to\infty} 0[/math]. Итак, собирая всё вместе, [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0[/math] Значит, для [math]\varepsilon[/math], [math]\exists A_0 : \forall A \gt A_0 : \left|\int\limits_\delta^{+\infty}\right| \lt \varepsilon[/math] Принимая это во внимание в оценке отклонения [math]|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon[/math], получаем, что [math]s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)[/math], или, [math]s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz[/math] в условиях, когда [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math]. [math]\triangleleft[/math] В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке [math]x[/math] существуют односторонние пределы, что если [math]s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math], то для этого [math]s[/math] условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>