Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр

1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в [math]L_1[/math]

Определение:

[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math]. То есть, [math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].

Определение:

Тригонометрическим рядом называется ряд: [math]\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math]. Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.

Теорема:

Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].

Определение:

Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.

2 Ядра Дирихле и Фейера

Определение:

[math]D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math] — тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле.

[math]D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}[/math]

Определение:

[math]S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt[/math] — интеграл Дирихле.

Определение:

[math]S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt[/math]. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки [math]f[/math] c ядром [math]D_n(t)[/math].

Определение:

[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)[/math] — тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера.

[math]\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2[/math]

3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)

Определение:

Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math].

Определение:

Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math].

Естественно, указанный предел должен существовать.

4 Теорема Фробениуса

Теорема (Фробениус):

[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А).

5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве

Теорема (Харди):

[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.) Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math].

6 Теорема Фейера

Теорема (Фейер в L_1):

Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math], [math]\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0[/math]. Тогда [math]\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s[/math]

7 Следствие о двух пределах

Утверждение (следствие Фейера о двух пределах):

Пусть точка [math]x[/math] — регулярная, тогда в ней [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math]

8 Всюду плотность множества [math] C [/math] в пространствах [math] L_p [/math]

Теорема:

Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]

9 Теорема Фейера в пространствах [math]L_p[/math]

Теорема (Фейер):

[math]f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

10 Наилучшее приближение в НП и его свойства

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).

Определение:

Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].

Заметим: гарантий, что [math]y^*[/math] единственный и что он вообще существует, нет.

Утверждение:

Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.

11 Существование элемента наилучшего приближения

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

12 Обобщенная теорема Вейерштрасса

Теорема (Вейерштрасс, обычная теорема Вейерштрасса):

Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a; b][/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon[/math]

Теорема (Теорема Вейерштрасса в [math]L_p[/math]):

[math]f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из [math]L_1[/math]

Лемма (Риман-Лебег):

Пусть [math]f \in L_1[/math], тогда при [math] n \to \infty [/math] [math]a_n \to 0[/math], [math]b_n \to 0[/math].

14 Теорема Дини

Теорема (Дини):

[math]f\in L_1[/math], [math] S \in \mathbb{R}[/math], [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], где [math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s[/math] . Тогда [math] S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)[/math]

15 Следствие о четырех пределах

Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)):

Пусть точка [math]x[/math] регулярна, а также существуют [math]\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}[/math] и [math]\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}[/math]. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна [math]\frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]

16 Полная вариация функции и ее аддитивность

Определение:

Вариацией функции [math]f[/math] по разбиению [math]\tau[/math] называется [math]\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|[/math]. Полной вариацией называется [math]\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)[/math]. [math]f[/math] называется функцией ограниченной вариации, если [math]\bigvee\limits_a^b(f) \lt + \infty[/math]. Класс функций ограниченной вариации обозначается как [math]\bigvee(a, b)[/math].

Теорема (аддитивность вариации):

Пусть [math]f(x) \in \bigvee(a, c)[/math] и [math]b \in [a, c][/math], тогда [math]\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)[/math].

17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций

Теорема:

[math]f[/math] — функция ограниченной вариации ([math]f \in \bigvee(a, b)[/math]) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ([math]f = f_1 - f_2[/math]).

18 Условие существования интеграла Стилтьесса

<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).

Определение:

Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$.

Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$. </wikitex>

Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса):

[math]f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 [/math].

19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции

<wikitex>

Теорема (о существовании интеграла Римана-Стилтьеса):

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует.

</wikitex>

20 Аддитивность интеграла Стилтьесса

<wikitex> Уточним аддитивность интеграла:

1. $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
2. $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
3. Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это неверно.

</wikitex>

21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана

<wikitex>

Утверждение:

Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.

</wikitex>

22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса

<wikitex>

Теорема (формула интегрирования по частям):

Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl

</wikitex>

23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации

<wikitex> Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:

• $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

• $|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$

</wikitex>

24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации

Теорема (Жордан):

Ряд Фурье [math]2\pi[/math]-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу [math]\frac{f(x-0)+f(x+0)}2[/math]

25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье

Теорема:

Пусть [math]f\in CV [/math] ([math] f [/math] — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда [math] \forall x: f[/math] раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

26 Ряды Фурье в [math]L_2[/math] : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя

Пусть [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — ОНС, [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 \lt +\infty[/math], [math]x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n[/math], [math]x\in\mathcal{H}[/math], [math]\alpha_k \in \mathbb{R}[/math], [math]s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j[/math].

Экстремальное свойство: [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2[/math].

Из него получается неравенство Бесселя: [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2[/math]

27 Замкнутые и полные о.н.с.

1. ОНС — замкнута: ([math]\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0) \Rightarrow x = 0[/math].
2. ОНС — полная: [math]\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \mathcal{H}[/math] (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

Теорема:

ОНС — полная [math]\iff[/math] ОНС — замкнутая

28 Равенство Парсеваля

Утверждение (Парсеваль):

[math]x, y \in \mathcal{H} \Rightarrow \langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle[/math].

29 Теорема Лузина-Данжуа

Теорема (Лузин, Данжуа):

Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из [math] r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} [/math] сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.

30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из [math]L_2[/math]

Теорема:

[math] f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} \lt + \infty [/math] Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.

31 Принцип локализации для рядов Фурье

Теорема (Риман):

Пусть [math]f,g \in L_1[/math], [math]0 \lt \delta \lt \pi[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math]. Пусть также в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x[/math] выполняется [math]f = g[/math], тогда [math]\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0[/math]

32 Почленное интегрирование ряда Фурье

[math]\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt[/math], где [math]A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx[/math]

33 Модуль непрерывности и его свойства

Определение:

Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если: [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math] [math]\omega (t)[/math] неубывает [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)

34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):

Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такая, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)[/math]

35 Модуль непрерывности в пространстве [math] C [/math]

[math] \omega(f, h)_C [/math] — модуль непрерывности функции [math] = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| [/math]

36 Ядро Джексона

Определение:

Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как [math] d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 [/math], [math] d_n(t) \in H_{2n-2} [/math].

37 Теорема Джексона

Теорема (Джексон):

[math] f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) [/math]

38 Следствия для C^r

[math] f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const [/math].

39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов

[math]T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)[/math]

Теорема (Бернштейн):

[math]\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|[/math]. Константу [math]n[/math] уменьшить нельзя

40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений

Теорема (Бернштейн):

[math]E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'[/math]

41 Явление Гиббса

Определение:

Явление Гиббса — некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.

42 Константа Лебега ядра Дирихле

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt[/math] называется константой Лебега. [math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}[/math].

43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега

[math]\|s_n(f) - f\|_C \le \left(\int\limits_Q |D_n(t)| dt + 1\right) E(f)_C[/math]

44 Частный интеграл Фурье

Определение:

[math]a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt[/math] — косинусное преобразование [math]f[/math]. [math]b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt[/math] — синусное преобразование [math]f[/math].

Если рассматривать все вещественные значения [math] n [/math], а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл. [math]\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz=\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz[/math] - интеграл Фурье.

45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье

Утверждение (признак Дини сходимости интеграла Фурье):

Пусть [math]f \in L_1, s \in \mathbb{R}[/math]. Если существует [math]\Delta \gt 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt + \infty[/math], то [math] s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)[/math].