Обсуждение:Интеграл Римана-Стилтьеса

[math] \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k [/math]

Почему этот переход верен? Вроде бы, нам не гарантируется, что функция [math] f [/math] ограничена. --Мейнстер Д. 13:29, 24 июня 2012 (GST)

Если функция интегрируема (по Риману), то она конечна. И кроме того [math]g'[/math] — ограниченна как непрерывная функция на компакте и тогда, раз [math]fg'[/math] ограниченна то и [math]f[/math] ограниченна. --Dmitriy D. 01:22, 25 июня 2012 (GST)

Неправда, что из того, что из [math]fg'[/math] и [math]g'[/math] — ограничены, то [math]f[/math] — ограничено. Например, [math]g' = 0[/math]. Тогда [math]f[/math] — любая. --Андрей Комаров 20:21, 25 июня 2012 (GST)

Блин, какой я дурак. Тогда Додонов дал неправильное доказательство. --Dmitriy D. 06:14, 26 июня 2012 (GST)

Додонов на консультации сегодня сказал, что [math]f[/math] - непрерывная (внезапно). --Dmitriy D. 16:53, 26 июня 2012 (GST)

Добавил требование неперерывности [math]f[/math] в условие. --Мейнстер Д. 19:25, 26 июня 2012 (GST)

Что-то у меня не получается доказать, что если [math] f, g [/math] - ограниченной вариации, то и [math] fg [/math] — тоже ограниченной вариации, кто-нибудь умеет это доказывать?

лох! пидр! --Дмитрий Герасимов 17:11, 27 июня 2012 (GST)

Как сдал-то? --Мейнстер Д. 20:51, 27 июня 2012 (GST)

троечкаааа --Дмитрий Герасимов 23:55, 27 июня 2012 (GST)

Ну ты понял, кто ты. --Мейнстер Д. 00:35, 28 июня 2012 (GST)

Чатик! --Андрей Комаров 00:58, 28 июня 2012 (GST)

А нельзя провернуть такой трюк? Доказываем, что [math]f\pm g[/math], [math]f^2[/math] — ограниченной вариации. Тогда по чудо-формуле [math]fg = \frac14(f + g)^2 - \frac14(f - g)^2[/math] получаем ограниченность вариации [math]fg[/math]. Докажем [math]f^2 \in \bigvee[/math]. [math]f \in \bigvee \Rightarrow |f| \lt M[/math]. Рассмотрим разбиение. Каждая разность в [math]f^2[/math] по нему увеличилась не более, чем в [math]2M[/math] раз. Значит, [math]2M\bigvee(f) \ge \bigvee(f^2) [/math].--Андрей Комаров 01:09, 28 июня 2012 (GST)

[math]f \in \bigvee \Rightarrow |f| \lt M[/math] - вооот! Этого-то мне и не хватало для полного счастья, что-то мне это утверждение показалось сомнительным. Но, видимо, это действительно так, иначе всегда можно предъявить разбиение, на котором вариация функции сколь угодно велика, да? --Мейнстер Д. 01:18, 28 июня 2012 (GST)

Тип того --Андрей Комаров 01:27, 28 июня 2012 (GST)